Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 95.8204521084873$$
$$x_{2} = 64.4056553878471$$
$$x_{3} = 58.1228625440946$$
$$x_{4} = 51.8401771906044$$
$$x_{5} = 89.5374232382022$$
$$x_{6} = 17.2937764044618$$
$$x_{7} = 54.9815039255663$$
$$x_{8} = 4.79347157705818$$
$$x_{9} = 61.2642477618988$$
$$x_{10} = 83.2544206601072$$
$$x_{11} = 67.5470820571842$$
$$x_{12} = 32.9934636297173$$
$$x_{13} = 36.1343483683071$$
$$x_{14} = 98.9619747288706$$
$$x_{15} = 29.8527496343583$$
$$x_{16} = 11.0222526014154$$
$$x_{17} = 70.6885250388719$$
$$x_{18} = 7.89526518224072$$
$$x_{19} = 80.1129313258524$$
$$x_{20} = 39.2753595077596$$
$$x_{21} = 45.5576483965663$$
$$x_{22} = 14.1565167061041$$
$$x_{23} = 92.6789347457531$$
$$x_{24} = 1.88479134910863$$
$$x_{25} = 23.5721422140939$$
$$x_{26} = 20.432534864003$$
$$x_{27} = 48.698889092841$$
$$x_{28} = 86.3959182759432$$
$$x_{29} = 73.8299820941703$$
$$x_{30} = 26.7122735990589$$
$$x_{31} = 42.4164666736714$$
$$x_{32} = 76.9714513712894$$
Signos de extremos en los puntos:
(95.82045210848732, 5.56246635971863)
(64.40565538784706, 5.16517810954741)
(58.1228625440946, 5.06252985486046)
(51.84017719060436, 4.94812787006332)
(89.53742323820215, 5.49464532402323)
(17.29377640446183, -3.84991256413583)
(54.98150392556629, -5.00696380286788)
(4.793471577058176, -2.55882046224792)
(61.26424776189878, -5.11517039594561)
(83.25442066010716, 5.42188792386154)
(67.5470820571842, -5.21280384434829)
(32.99346362971729, 4.49620731888758)
(36.13434836830713, -4.58716041450293)
(98.96197472887062, -5.59472655728815)
(29.852749634358254, -4.39614933692888)
(11.022252601415369, -3.39870634958038)
(70.68852503887192, 5.25826422533101)
(7.895265182240717, 3.06365064257492)
(80.11293132585237, -5.3834228096576)
(39.27535950775963, 4.67052793960621)
(45.55764839656634, 4.81892853142903)
(14.156516706104114, 3.64949174675823)
(92.67893474575312, -5.52913067752638)
(1.8847913491086343, 1.55393532444818)
(23.572142214093933, -4.1598493094349)
(20.43253486400302, 4.01683037707484)
(48.698889092840965, -4.8856130663637)
(86.39591827594319, -5.45892816169326)
(73.82998209417029, -5.30174760911776)
(26.712273599058875, 4.28495962918833)
(42.416466673671366, -4.7474781155696)
(76.97145137128938, 5.34341879783482)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 17.2937764044618$$
$$x_{2} = 54.9815039255663$$
$$x_{3} = 4.79347157705818$$
$$x_{4} = 61.2642477618988$$
$$x_{5} = 67.5470820571842$$
$$x_{6} = 36.1343483683071$$
$$x_{7} = 98.9619747288706$$
$$x_{8} = 29.8527496343583$$
$$x_{9} = 11.0222526014154$$
$$x_{10} = 80.1129313258524$$
$$x_{11} = 92.6789347457531$$
$$x_{12} = 23.5721422140939$$
$$x_{13} = 48.698889092841$$
$$x_{14} = 86.3959182759432$$
$$x_{15} = 73.8299820941703$$
$$x_{16} = 42.4164666736714$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{16} = 95.8204521084873$$
$$x_{16} = 64.4056553878471$$
$$x_{16} = 58.1228625440946$$
$$x_{16} = 51.8401771906044$$
$$x_{16} = 89.5374232382022$$
$$x_{16} = 83.2544206601072$$
$$x_{16} = 32.9934636297173$$
$$x_{16} = 70.6885250388719$$
$$x_{16} = 7.89526518224072$$
$$x_{16} = 39.2753595077596$$
$$x_{16} = 45.5576483965663$$
$$x_{16} = 14.1565167061041$$
$$x_{16} = 1.88479134910863$$
$$x_{16} = 20.432534864003$$
$$x_{16} = 26.7122735990589$$
$$x_{16} = 76.9714513712894$$
Decrece en los intervalos
$$\left[98.9619747288706, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.79347157705818\right]$$