Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx/1+cos(x)

Gráfico de la función y = sinx/1+cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(x)         
f(x) = ------ + cos(x)
         1
f(x)=sin⁡(x)1+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x)/1 + cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)1+cos⁡(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=−57.3340659280137x_{1} = -57.3340659280137
x2=−79.3252145031423x_{2} = -79.3252145031423
x3=49.4800842940392x_{3} = 49.4800842940392
x4=−13.3517687777566x_{4} = -13.3517687777566
x5=8.63937979737193x_{5} = 8.63937979737193
x6=−85.6083998103219x_{6} = -85.6083998103219
x7=−44.7676953136546x_{7} = -44.7676953136546
x8=58.9048622548086x_{8} = 58.9048622548086
x9=40.0553063332699x_{9} = 40.0553063332699
x10=−69.9004365423729x_{10} = -69.9004365423729
x11=−73.0420291959627x_{11} = -73.0420291959627
x12=−63.6172512351933x_{12} = -63.6172512351933
x13=55.7632696012188x_{13} = 55.7632696012188
x14=−54.1924732744239x_{14} = -54.1924732744239
x15=−82.4668071567321x_{15} = -82.4668071567321
x16=84.037603483527x_{16} = 84.037603483527
x17=14.9225651045515x_{17} = 14.9225651045515
x18=71.4712328691678x_{18} = 71.4712328691678
x19=−32.2013246992954x_{19} = -32.2013246992954
x20=21.2057504117311x_{20} = 21.2057504117311
x21=87.1791961371168x_{21} = 87.1791961371168
x22=2.35619449019234x_{22} = 2.35619449019234
x23=−16.4933614313464x_{23} = -16.4933614313464
x24=24.3473430653209x_{24} = 24.3473430653209
x25=52.621676947629x_{25} = 52.621676947629
x26=−7.06858347057703x_{26} = -7.06858347057703
x27=90.3207887907066x_{27} = 90.3207887907066
x28=−107.59954838545x_{28} = -107.59954838545
x29=46.3384916404494x_{29} = 46.3384916404494
x30=74.6128255227576x_{30} = 74.6128255227576
x31=11.7809724509617x_{31} = 11.7809724509617
x32=−60.4756585816035x_{32} = -60.4756585816035
x33=−10.2101761241668x_{33} = -10.2101761241668
x34=−22.776546738526x_{34} = -22.776546738526
x35=62.0464549083984x_{35} = 62.0464549083984
x36=18.0641577581413x_{36} = 18.0641577581413
x37=−66.7588438887831x_{37} = -66.7588438887831
x38=−29.0597320457056x_{38} = -29.0597320457056
x39=36.9137136796801x_{39} = 36.9137136796801
x40=77.7544181763474x_{40} = 77.7544181763474
x41=−47.9092879672443x_{41} = -47.9092879672443
x42=27.4889357189107x_{42} = 27.4889357189107
x43=−25.9181393921158x_{43} = -25.9181393921158
x44=−41.6261026600648x_{44} = -41.6261026600648
x45=−0.785398163397448x_{45} = -0.785398163397448
x46=30.6305283725005x_{46} = 30.6305283725005
x47=351.072979038659x_{47} = 351.072979038659
x48=5.49778714378214x_{48} = 5.49778714378214
x49=−38.484510006475x_{49} = -38.484510006475
x50=33.7721210260903x_{50} = 33.7721210260903
x51=−88.7499924639117x_{51} = -88.7499924639117
x52=−76.1836218495525x_{52} = -76.1836218495525
x53=−95.0331777710912x_{53} = -95.0331777710912
x54=−35.3429173528852x_{54} = -35.3429173528852
x55=68.329640215578x_{55} = 68.329640215578
x56=93.4623814442964x_{56} = 93.4623814442964
x57=−19.6349540849362x_{57} = -19.6349540849362
x58=−98.174770424681x_{58} = -98.174770424681
x59=43.1968989868597x_{59} = 43.1968989868597
x60=96.6039740978861x_{60} = 96.6039740978861
x61=−3.92699081698724x_{61} = -3.92699081698724
x62=80.8960108299372x_{62} = 80.8960108299372
x63=−51.0508806208341x_{63} = -51.0508806208341
x64=65.1880475619882x_{64} = 65.1880475619882
x65=99.7455667514759x_{65} = 99.7455667514759
x66=−91.8915851175014x_{66} = -91.8915851175014
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/1 + cos(x).
sin⁡(0)1+cos⁡(0)\frac{\sin{\left(0 \right)}}{1} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    ___ 
(--, \/ 2 )
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+cos⁡(x))=0- (\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)1+cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)1+cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/1 + cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)1+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)1+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)1+cos⁡(x)=−sin⁡(x)+cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)1+cos⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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