Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx/√1-sin^2x

Gráfico de la función y = sinx/√1-sin^2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(x)      2   
f(x) = ------ - sin (x)
         ___           
       \/ 1
f(x)=−sin⁡2(x)+sin⁡(x)1f{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1}} 
f = -sin(x)^2 + sin(x)/sqrt(1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡2(x)+sin⁡(x)1=0- \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=πx_{3} = \pi
Solución numérica
x1=−54.9778717129156x_{1} = -54.9778717129156
x2=62.8318530717959x_{2} = 62.8318530717959
x3=−50.2654824574367x_{3} = -50.2654824574367
x4=−80.1106125810393x_{4} = -80.1106125810393
x5=76.9690200976964x_{5} = 76.9690200976964
x6=91.106186954104x_{6} = 91.106186954104
x7=1.57079651244662x_{7} = 1.57079651244662
x8=120.951318648179x_{8} = 120.951318648179
x9=−4.7123888305818x_{9} = -4.7123888305818
x10=72.2566310325652x_{10} = 72.2566310325652
x11=32.9867223690379x_{11} = 32.9867223690379
x12=−43.9822971502571x_{12} = -43.9822971502571
x13=−69.1150383789755x_{13} = -69.1150383789755
x14=−37.6991118430775x_{14} = -37.6991118430775
x15=34.5575191894877x_{15} = 34.5575191894877
x16=−94.2477796076938x_{16} = -94.2477796076938
x17=−73.8274272802392x_{17} = -73.8274272802392
x18=58.1194647431527x_{18} = 58.1194647431527
x19=−21.9911485751286x_{19} = -21.9911485751286
x20=50.2654824574367x_{20} = 50.2654824574367
x21=−15.707963267949x_{21} = -15.707963267949
x22=21.9911485751286x_{22} = 21.9911485751286
x23=−87.9645943005142x_{23} = -87.9645943005142
x24=−72.2566310325652x_{24} = -72.2566310325652
x25=14.1371670985871x_{25} = 14.1371670985871
x26=89.5353908137952x_{26} = 89.5353908137952
x27=7.85398173796495x_{27} = 7.85398173796495
x28=59.6902604182061x_{28} = 59.6902604182061
x29=70.6858345286456x_{29} = 70.6858345286456
x30=−40.8407044966673x_{30} = -40.8407044966673
x31=−9.42477796076938x_{31} = -9.42477796076938
x32=−92.6769832292373x_{32} = -92.6769832292373
x33=9.42477796076938x_{33} = 9.42477796076938
x34=−42.4115006392452x_{34} = -42.4115006392452
x35=32.986723044911x_{35} = 32.986723044911
x36=97.3893722612836x_{36} = 97.3893722612836
x37=−29.8451300972765x_{37} = -29.8451300972765
x38=−65.9734457253857x_{38} = -65.9734457253857
x39=15.707963267949x_{39} = 15.707963267949
x40=−1564.51314148772x_{40} = -1564.51314148772
x41=28.2743338823081x_{41} = 28.2743338823081
x42=94.2477796076938x_{42} = 94.2477796076938
x43=69.1150383789755x_{43} = 69.1150383789755
x44=−10.9955739732138x_{44} = -10.9955739732138
x45=37.6991118430775x_{45} = 37.6991118430775
x46=51.8362788966528x_{46} = 51.8362788966528
x47=6.28318530717959x_{47} = 6.28318530717959
x48=−10.9955747331165x_{48} = -10.9955747331165
x49=−53.4070751110265x_{49} = -53.4070751110265
x50=83.2522050600807x_{50} = 83.2522050600807
x51=−6.28318530717959x_{51} = -6.28318530717959
x52=−61.2610569243204x_{52} = -61.2610569243204
x53=−75.398223686155x_{53} = -75.398223686155
x54=20.42035215177x_{54} = 20.42035215177
x55=0x_{55} = 0
x56=−86.3937977915432x_{56} = -86.3937977915432
x57=83.2522058001693x_{57} = 83.2522058001693
x58=39.2699080280542x_{58} = 39.2699080280542
x59=−67.5442421642546x_{59} = -67.5442421642546
x60=−17.2787597741434x_{60} = -17.2787597741434
x61=−4.71238903613963x_{61} = -4.71238903613963
x62=−62.8318530717959x_{62} = -62.8318530717959
x63=−34.5575191894877x_{63} = -34.5575191894877
x64=−97.3893722612836x_{64} = -97.3893722612836
x65=−23.5619450064001x_{65} = -23.5619450064001
x66=39.2699086388565x_{66} = 39.2699086388565
x67=−25.1327412287183x_{67} = -25.1327412287183
x68=26.7035373768773x_{68} = 26.7035373768773
x69=−28.2743338823081x_{69} = -28.2743338823081
x70=−36.1283154212439x_{70} = -36.1283154212439
x71=81.6814089933346x_{71} = 81.6814089933346
x72=76.969019673036x_{72} = 76.969019673036
x73=64.4026493102586x_{73} = 64.4026493102586
x74=100.530964914873x_{74} = 100.530964914873
x75=47.1238898038469x_{75} = 47.1238898038469
x76=−84.8230016469244x_{76} = -84.8230016469244
x77=25.1327412287183x_{77} = 25.1327412287183
x78=−54.9778709863297x_{78} = -54.9778709863297
x79=−18.8495559215388x_{79} = -18.8495559215388
x80=78.5398163397448x_{80} = 78.5398163397448
x81=−48.6946861243056x_{81} = -48.6946861243056
x82=12.5663706143592x_{82} = 12.5663706143592
x83=45.553093663481x_{83} = 45.553093663481
x84=87.9645943005142x_{84} = 87.9645943005142
x85=18.8495559215388x_{85} = 18.8495559215388
x86=−78.5398163397448x_{86} = -78.5398163397448
x87=43.9822971502571x_{87} = 43.9822971502571
x88=−31.4159265358979x_{88} = -31.4159265358979
x89=−81.6814089933346x_{89} = -81.6814089933346
x90=56.5486677646163x_{90} = 56.5486677646163
x91=3.14159265358979x_{91} = 3.14159265358979
x92=−59.6902604182061x_{92} = -59.6902604182061
x93=65.9734457253857x_{93} = 65.9734457253857
x94=95.8185760548644x_{94} = 95.8185760548644
x95=53.4070751110265x_{95} = 53.4070751110265
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/sqrt(1) - sin(x)^2.
sin⁡(0)1−sin⁡2(0)\frac{\sin{\left(0 \right)}}{\sqrt{1}} - \sin^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=5π6x_{4} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -2)
  2       

 pi      
(--, 1/4)
 6       

 pi         1   
(--, -1 + -----)
 2          ___ 
          \/ 1  

 5*pi      
(----, 1/4)
  6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Decrece en los intervalos
[−π2,π6]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡2(x)−sin⁡(x)−2cos⁡2(x)=02 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(−14+29−334+334)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x2=−2atan⁡(14+233+94+334)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x3=−2atan⁡(−334+14+29−334)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}
x4=−2atan⁡(−233+94+14+334)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(14+233+94+334),−2atan⁡(−233+94+14+334)]∪[−2atan⁡(−334+14+29−334),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(14+233+94+334)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡2(x)+sin⁡(x)1)=⟨−2,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1}}\right) = \left\langle -2, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,1⟩y = \left\langle -2, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(−sin⁡2(x)+sin⁡(x)1)=⟨−2,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1}}\right) = \left\langle -2, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,1⟩y = \left\langle -2, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/sqrt(1) - sin(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡2(x)+sin⁡(x)1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡2(x)+sin⁡(x)1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡2(x)+sin⁡(x)1=−sin⁡2(x)−sin⁡(x)- \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1}} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}
- No
−sin⁡2(x)+sin⁡(x)1=sin⁡2(x)+sin⁡(x)- \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1}} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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