Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- (cos((pi*x)/ cuatro)^ dos *(uno +x))/x
- ( coseno de (( número pi multiplicar por x) dividir por 4) al cuadrado multiplicar por (1 más x)) dividir por x
- ( coseno de (( número pi multiplicar por x) dividir por cuatro) en el grado dos multiplicar por (uno más x)) dividir por x
- (cos((pi*x)/4)2*(1+x))/x
- cospi*x/42*1+x/x
- (cos((pi*x)/4)²*(1+x))/x
- (cos((pi*x)/4) en el grado 2*(1+x))/x
- (cos((pix)/4)^2(1+x))/x
- (cos((pix)/4)2(1+x))/x
- cospix/421+x/x
- cospix/4^21+x/x
- (cos((pi*x) dividir por 4)^2*(1+x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (cos((pi*x)/4)^2*(1-x))/x
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x),x
- cos(x)-sqrt(3)*sin(x)
- cos(3x)+3cos(x)
- cos(x)*e^x
- cos(x)+sin(2*x)/2
- Número Pi pi
- pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi/8-cosx/pi+sinx/2
- pi*(1-x)*tg(pi*x/2)
- pi-2*arcsin(2.752x)
- pi-arctg((x*10^(-5))/3)
Gráfico de la función y = (cos((pi*x)/4)^2*(1+x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
2/pi*x\
cos |----|*(1 + x)
\ 4 /
f(x) = ------------------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}$$
f = ((x + 1)*cos((pi*x)/4)^2)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -29.9999993239155$$
$$x_{2} = -85.9999994157479$$
$$x_{3} = -53.9999993872206$$
$$x_{4} = 62$$
$$x_{5} = 58$$
$$x_{6} = 70.0000006054295$$
$$x_{7} = 38.0000006877626$$
$$x_{8} = 106.000000580183$$
$$x_{9} = -98$$
$$x_{10} = 42$$
$$x_{11} = 22.0000006954456$$
$$x_{12} = 22$$
$$x_{13} = 82$$
$$x_{14} = -18$$
$$x_{15} = -58$$
$$x_{16} = 34.0000007062372$$
$$x_{17} = -70$$
$$x_{18} = -45.9999993727629$$
$$x_{19} = -6$$
$$x_{20} = -13.9999992779697$$
$$x_{21} = 94.0000005856159$$
$$x_{22} = 18$$
$$x_{23} = 94$$
$$x_{24} = 10$$
$$x_{25} = 18.0000005397436$$
$$x_{26} = -22$$
$$x_{27} = -26$$
$$x_{28} = -50$$
$$x_{29} = -93.9999994192894$$
$$x_{30} = 46$$
$$x_{31} = 90.0000005879094$$
$$x_{32} = -2.00000012051085$$
$$x_{33} = -73.9999994085164$$
$$x_{34} = 26.0000007290226$$
$$x_{35} = 26$$
$$x_{36} = -57.9999993928546$$
$$x_{37} = 70$$
$$x_{38} = 66$$
$$x_{39} = -77.9999994112411$$
$$x_{40} = -41.999999363466$$
$$x_{41} = -78$$
$$x_{42} = 54$$
$$x_{43} = 98$$
$$x_{44} = -10$$
$$x_{45} = -33.9999993392928$$
$$x_{46} = -25.9999993064638$$
$$x_{47} = 30.0000007231778$$
$$x_{48} = 86$$
$$x_{49} = -65.9999994018159$$
$$x_{50} = -34$$
$$x_{51} = -17.9999992741071$$
$$x_{52} = 50.0000006436889$$
$$x_{53} = 98.0000005835884$$
$$x_{54} = 14$$
$$x_{55} = -9.99999934065966$$
$$x_{56} = -94$$
$$x_{57} = 62.0000006170459$$
$$x_{58} = 6$$
$$x_{59} = -66$$
$$x_{60} = -74$$
$$x_{61} = 102.000000581788$$
$$x_{62} = -69.9999994053997$$
$$x_{63} = 58.0000006244519$$
$$x_{64} = -49.999999380595$$
$$x_{65} = -38$$
$$x_{66} = 74$$
$$x_{67} = -62$$
$$x_{68} = -82$$
$$x_{69} = 86.0000005905157$$
$$x_{70} = 78$$
$$x_{71} = 42.0000006708038$$
$$x_{72} = -5.99999957471976$$
$$x_{73} = -21.9999992882976$$
$$x_{74} = -61.9999993976724$$
$$x_{75} = 38$$
$$x_{76} = 66.0000006107726$$
$$x_{77} = 2$$
$$x_{78} = -46$$
$$x_{79} = 54.0000006332367$$
$$x_{80} = 34$$
$$x_{81} = 90$$
$$x_{82} = -2$$
$$x_{83} = 74.0000006008525$$
$$x_{84} = -89.9999994176214$$
$$x_{85} = -90$$
$$x_{86} = 46.0000006561216$$
$$x_{87} = -86$$
$$x_{88} = -37.9999993524093$$
$$x_{89} = 50$$
$$x_{90} = 14.0000000711243$$
$$x_{91} = -14$$
$$x_{92} = -30$$
$$x_{93} = -42$$
$$x_{94} = 78.000000596909$$
$$x_{95} = -5.9999994409473$$
$$x_{96} = -81.9999994136349$$
$$x_{97} = 30$$
$$x_{98} = 82.0000005934923$$
$$x_{99} = -54$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -29.9999993239155$$
$$x_{2} = -85.9999994157479$$
$$x_{3} = -53.9999993872206$$
$$x_{4} = 62$$
$$x_{5} = 58$$
$$x_{6} = 70.0000006054295$$
$$x_{7} = 38.0000006877626$$
$$x_{8} = 106.000000580183$$
$$x_{9} = -98$$
$$x_{10} = 42$$
$$x_{11} = 22.0000006954456$$
$$x_{12} = 22$$
$$x_{13} = 82$$
$$x_{14} = -18$$
$$x_{15} = -58$$
$$x_{16} = 34.0000007062372$$
$$x_{17} = -70$$
$$x_{18} = -45.9999993727629$$
$$x_{19} = -6$$
$$x_{20} = -13.9999992779697$$
$$x_{21} = 94.0000005856159$$
$$x_{22} = 18$$
$$x_{23} = 94$$
$$x_{24} = 10$$
$$x_{25} = 18.0000005397436$$
$$x_{26} = -22$$
$$x_{27} = -26$$
$$x_{28} = -50$$
$$x_{29} = -93.9999994192894$$
$$x_{30} = 46$$
$$x_{31} = 90.0000005879094$$
$$x_{32} = -2.00000012051085$$
$$x_{33} = -73.9999994085164$$
$$x_{34} = 26.0000007290226$$
$$x_{35} = 26$$
$$x_{36} = -57.9999993928546$$
$$x_{37} = 70$$
$$x_{38} = 66$$
$$x_{39} = -77.9999994112411$$
$$x_{40} = -41.999999363466$$
$$x_{41} = -78$$
$$x_{42} = 54$$
$$x_{43} = 98$$
$$x_{44} = -10$$
$$x_{45} = -33.9999993392928$$
$$x_{46} = -25.9999993064638$$
$$x_{47} = 30.0000007231778$$
$$x_{48} = 86$$
$$x_{49} = -65.9999994018159$$
$$x_{50} = -34$$
$$x_{51} = -17.9999992741071$$
$$x_{52} = 50.0000006436889$$
$$x_{53} = 98.0000005835884$$
$$x_{54} = 14$$
$$x_{55} = -9.99999934065966$$
$$x_{56} = -94$$
$$x_{57} = 62.0000006170459$$
$$x_{58} = 6$$
$$x_{59} = -66$$
$$x_{60} = -74$$
$$x_{61} = 102.000000581788$$
$$x_{62} = -69.9999994053997$$
$$x_{63} = 58.0000006244519$$
$$x_{64} = -49.999999380595$$
$$x_{65} = -38$$
$$x_{66} = 74$$
$$x_{67} = -62$$
$$x_{68} = -82$$
$$x_{69} = 86.0000005905157$$
$$x_{70} = 78$$
$$x_{71} = 42.0000006708038$$
$$x_{72} = -5.99999957471976$$
$$x_{73} = -21.9999992882976$$
$$x_{74} = -61.9999993976724$$
$$x_{75} = 38$$
$$x_{76} = 66.0000006107726$$
$$x_{77} = 2$$
$$x_{78} = -46$$
$$x_{79} = 54.0000006332367$$
$$x_{80} = 34$$
$$x_{81} = 90$$
$$x_{82} = -2$$
$$x_{83} = 74.0000006008525$$
$$x_{84} = -89.9999994176214$$
$$x_{85} = -90$$
$$x_{86} = 46.0000006561216$$
$$x_{87} = -86$$
$$x_{88} = -37.9999993524093$$
$$x_{89} = 50$$
$$x_{90} = 14.0000000711243$$
$$x_{91} = -14$$
$$x_{92} = -30$$
$$x_{93} = -42$$
$$x_{94} = 78.000000596909$$
$$x_{95} = -5.9999994409473$$
$$x_{96} = -81.9999994136349$$
$$x_{97} = 30$$
$$x_{98} = 82.0000005934923$$
$$x_{99} = -54$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \frac{\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{2} + \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} - \frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \frac{\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{2} + \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} - \frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 0)
(2, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\pi \left(\pi \left(x + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) - 8 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{8} + \frac{\left(\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 44.9996028704428$$
$$x_{2} = -31.0008536093723$$
$$x_{3} = -85.0001143749339$$
$$x_{4} = -15.0036931994676$$
$$x_{5} = -23.0015572519595$$
$$x_{6} = 18.9979377413296$$
$$x_{7} = -13.0054432541212$$
$$x_{8} = 96.9999141708959$$
$$x_{9} = 10.9942059886459$$
$$x_{10} = 52.9997133756277$$
$$x_{11} = 38.9994888660358$$
$$x_{12} = -51.000313896626$$
$$x_{13} = -37.0006189745222$$
$$x_{14} = -57.0002567704716$$
$$x_{15} = 74.9998590011155$$
$$x_{16} = 26.9989529792397$$
$$x_{17} = -35.0006687223095$$
$$x_{18} = -25.0013851152113$$
$$x_{19} = -65.0001967550027$$
$$x_{20} = 80.9998770033365$$
$$x_{21} = 88.999898081113$$
$$x_{22} = 40.9995219605996$$
$$x_{23} = -3.0944985600091$$
$$x_{24} = -27.0011272880282$$
$$x_{25} = -89.0001042345009$$
$$x_{26} = -91.0000982779299$$
$$x_{27} = -67.0001815606124$$
$$x_{28} = 72.9998486406245$$
$$x_{29} = -59.0002343114102$$
$$x_{30} = -39.0005379923011$$
$$x_{31} = -43.0004421616485$$
$$x_{32} = -47.0003698293801$$
$$x_{33} = -1.614150703963$$
$$x_{34} = 102.999924798238$$
$$x_{35} = -69.000174348217$$
$$x_{36} = 92.9999066437242$$
$$x_{37} = 50.9996981653844$$
$$x_{38} = 90.9999038579305$$
$$x_{39} = -61.0002237758992$$
$$x_{40} = 2.94416537967508$$
$$x_{41} = 380.999994421377$$
$$x_{42} = 70.9998428586052$$
$$x_{43} = 16.9972505899113$$
$$x_{44} = -87.0001075427893$$
$$x_{45} = -11.0069285099769$$
$$x_{46} = 104.999926730846$$
$$x_{47} = 32.9992635820045$$
$$x_{48} = 58.9997734936612$$
$$x_{49} = -93.0000953851793$$
$$x_{50} = -9.01200286161397$$
$$x_{51} = 98.9999186505986$$
$$x_{52} = 12.9953233745264$$
$$x_{53} = 14.9967639467234$$
$$x_{54} = -21.0019878533421$$
$$x_{55} = -95.0000901607308$$
$$x_{56} = -83.0001181823166$$
$$x_{57} = 48.9996648501043$$
$$x_{58} = 94.9999117171202$$
$$x_{59} = -45.0004151584059$$
$$x_{60} = 86.9998949005943$$
$$x_{61} = -49.0003490998428$$
$$x_{62} = -19.0022898196266$$
$$x_{63} = -5.04433678704151$$
$$x_{64} = 62.9998009955008$$
$$x_{65} = 76.9998639235117$$
$$x_{66} = -63.000205420042$$
$$x_{67} = 66.9998237765818$$
$$x_{68} = -17.0030898885942$$
$$x_{69} = -53.0002976385393$$
$$x_{70} = -55.0002697559914$$
$$x_{71} = 68.999830630629$$
$$x_{72} = 60.999783437987$$
$$x_{73} = 56.9997520770949$$
$$x_{74} = 78.9998727782642$$
$$x_{75} = 84.9998882840567$$
$$x_{76} = -79.0001304825544$$
$$x_{77} = -71.0001616289714$$
$$x_{78} = 82.999884630574$$
$$x_{79} = 64.9998092038565$$
$$x_{80} = 30.999199612962$$
$$x_{81} = 54.99973987063$$
$$x_{82} = -41.0005019053572$$
$$x_{83} = -75.0001448080093$$
$$x_{84} = 36.9994135457222$$
$$x_{85} = -29.0010200422274$$
$$x_{86} = 42.9995779111432$$
$$x_{87} = -73.00015556184$$
$$x_{88} = 100.99992082309$$
$$x_{89} = -7.01740170165913$$
$$x_{90} = -81.0001260704169$$
$$x_{91} = 46.999645563784$$
$$x_{92} = 28.9990477660696$$
$$x_{93} = 34.9993683584672$$
$$x_{94} = 8.99032715593967$$
$$x_{95} = -77.0001396559479$$
$$x_{96} = -33.0007823359871$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{\pi \left(\pi \left(x + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) - 8 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{8} + \frac{\left(\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\pi \left(\pi \left(x + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) - 8 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{8} + \frac{\left(\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[380.999994421377, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.0000901607308\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\pi \left(\pi \left(x + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) - 8 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{8} + \frac{\left(\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 44.9996028704428$$
$$x_{2} = -31.0008536093723$$
$$x_{3} = -85.0001143749339$$
$$x_{4} = -15.0036931994676$$
$$x_{5} = -23.0015572519595$$
$$x_{6} = 18.9979377413296$$
$$x_{7} = -13.0054432541212$$
$$x_{8} = 96.9999141708959$$
$$x_{9} = 10.9942059886459$$
$$x_{10} = 52.9997133756277$$
$$x_{11} = 38.9994888660358$$
$$x_{12} = -51.000313896626$$
$$x_{13} = -37.0006189745222$$
$$x_{14} = -57.0002567704716$$
$$x_{15} = 74.9998590011155$$
$$x_{16} = 26.9989529792397$$
$$x_{17} = -35.0006687223095$$
$$x_{18} = -25.0013851152113$$
$$x_{19} = -65.0001967550027$$
$$x_{20} = 80.9998770033365$$
$$x_{21} = 88.999898081113$$
$$x_{22} = 40.9995219605996$$
$$x_{23} = -3.0944985600091$$
$$x_{24} = -27.0011272880282$$
$$x_{25} = -89.0001042345009$$
$$x_{26} = -91.0000982779299$$
$$x_{27} = -67.0001815606124$$
$$x_{28} = 72.9998486406245$$
$$x_{29} = -59.0002343114102$$
$$x_{30} = -39.0005379923011$$
$$x_{31} = -43.0004421616485$$
$$x_{32} = -47.0003698293801$$
$$x_{33} = -1.614150703963$$
$$x_{34} = 102.999924798238$$
$$x_{35} = -69.000174348217$$
$$x_{36} = 92.9999066437242$$
$$x_{37} = 50.9996981653844$$
$$x_{38} = 90.9999038579305$$
$$x_{39} = -61.0002237758992$$
$$x_{40} = 2.94416537967508$$
$$x_{41} = 380.999994421377$$
$$x_{42} = 70.9998428586052$$
$$x_{43} = 16.9972505899113$$
$$x_{44} = -87.0001075427893$$
$$x_{45} = -11.0069285099769$$
$$x_{46} = 104.999926730846$$
$$x_{47} = 32.9992635820045$$
$$x_{48} = 58.9997734936612$$
$$x_{49} = -93.0000953851793$$
$$x_{50} = -9.01200286161397$$
$$x_{51} = 98.9999186505986$$
$$x_{52} = 12.9953233745264$$
$$x_{53} = 14.9967639467234$$
$$x_{54} = -21.0019878533421$$
$$x_{55} = -95.0000901607308$$
$$x_{56} = -83.0001181823166$$
$$x_{57} = 48.9996648501043$$
$$x_{58} = 94.9999117171202$$
$$x_{59} = -45.0004151584059$$
$$x_{60} = 86.9998949005943$$
$$x_{61} = -49.0003490998428$$
$$x_{62} = -19.0022898196266$$
$$x_{63} = -5.04433678704151$$
$$x_{64} = 62.9998009955008$$
$$x_{65} = 76.9998639235117$$
$$x_{66} = -63.000205420042$$
$$x_{67} = 66.9998237765818$$
$$x_{68} = -17.0030898885942$$
$$x_{69} = -53.0002976385393$$
$$x_{70} = -55.0002697559914$$
$$x_{71} = 68.999830630629$$
$$x_{72} = 60.999783437987$$
$$x_{73} = 56.9997520770949$$
$$x_{74} = 78.9998727782642$$
$$x_{75} = 84.9998882840567$$
$$x_{76} = -79.0001304825544$$
$$x_{77} = -71.0001616289714$$
$$x_{78} = 82.999884630574$$
$$x_{79} = 64.9998092038565$$
$$x_{80} = 30.999199612962$$
$$x_{81} = 54.99973987063$$
$$x_{82} = -41.0005019053572$$
$$x_{83} = -75.0001448080093$$
$$x_{84} = 36.9994135457222$$
$$x_{85} = -29.0010200422274$$
$$x_{86} = 42.9995779111432$$
$$x_{87} = -73.00015556184$$
$$x_{88} = 100.99992082309$$
$$x_{89} = -7.01740170165913$$
$$x_{90} = -81.0001260704169$$
$$x_{91} = 46.999645563784$$
$$x_{92} = 28.9990477660696$$
$$x_{93} = 34.9993683584672$$
$$x_{94} = 8.99032715593967$$
$$x_{95} = -77.0001396559479$$
$$x_{96} = -33.0007823359871$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{\pi \left(\pi \left(x + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) - 8 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{8} + \frac{\left(\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\pi \left(\pi \left(x + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) - 8 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{8} + \frac{\left(\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[380.999994421377, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.0000901607308\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos((pi*x)/4)^2*(1 + x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} = - \frac{\left(1 - x\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} = \frac{\left(1 - x\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} = - \frac{\left(1 - x\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\left(x + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x} = \frac{\left(1 - x\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar