Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$4 \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 25.9211023317763$$
$$x_{2} = 38.48628952834$$
$$x_{3} = 99.7461113017511$$
$$x_{4} = 52.6228756848429$$
$$x_{5} = 8.65276590100135$$
$$x_{6} = 32.2035605555116$$
$$x_{7} = 62.0474309910149$$
$$x_{8} = 47.9106365276308$$
$$x_{9} = 96.6045402936603$$
$$x_{10} = 19.6392292115165$$
$$x_{11} = 74.6136025037316$$
$$x_{12} = 82.4674941961375$$
$$x_{13} = 60.4766662755471$$
$$x_{14} = 66.7597352667801$$
$$x_{15} = 85.609056077116$$
$$x_{16} = 98.1753256022933$$
$$x_{17} = 76.1843791520252$$
$$x_{18} = 18.0689381825286$$
$$x_{19} = 2.46662246182406$$
$$x_{20} = 91.8921869333118$$
$$x_{21} = 44.7691642485154$$
$$x_{22} = 54.1936286925819$$
$$x_{23} = 55.7643844954788$$
$$x_{24} = 10.2206977223401$$
$$x_{25} = 41.6277132716067$$
$$x_{26} = 16.4987665379521$$
$$x_{27} = 33.7742240619455$$
$$x_{28} = 63.6181974869599$$
$$x_{29} = 27.491679801302$$
$$x_{30} = 40.0569975446324$$
$$x_{31} = 5.524240624726$$
$$x_{32} = 90.321403416883$$
$$x_{33} = 49.4813792496946$$
$$x_{34} = 84.0382748106232$$
$$x_{35} = 69.901278642307$$
$$x_{36} = 24.3505588482616$$
$$x_{37} = 3.97248841332099$$
$$x_{38} = 46.3398980273589$$
$$x_{39} = 11.789566393009$$
$$x_{40} = 88.7506204145858$$
$$x_{41} = 68.3305063083065$$
$$x_{42} = 77.755156701807$$
$$x_{43} = 30.6329132105271$$
Signos de extremos en los puntos:
(25.921102331776293, 6.5100004932138)
(38.486289528339974, 7.30055788587548)
(99.74611130175111, -9.20525068177216)
(52.622875684842924, -7.92627906858841)
(8.65276590100135, -4.31421148459928)
(32.203560555511636, 6.94408461711796)
(62.047430991014885, -8.25578248589888)
(47.910636527630835, 7.73864692609443)
(96.6045402936603, -9.14124562120576)
(19.639229211516483, 5.95484043623168)
(74.61360250373158, -8.62463524617481)
(82.46749419613745, 8.8248000808829)
(60.476666275547075, 8.2044985559969)
(66.75973526678014, 8.40218691466574)
(85.60905607711597, 8.89957447983872)
(98.17532560229327, 9.17350417905925)
(76.18437915202516, 8.66630294696452)
(18.06893818252863, -5.78812412727344)
(2.4666224618240604, -1.76183967932169)
(91.89218693331178, 9.0412254682524)
(44.769164248515445, 7.60300639763126)
(54.19362869258188, 7.98510537933995)
(55.76438449547882, -8.04225079692757)
(10.220697722340134, 4.64780045509854)
(41.62771327160666, 7.45749356907592)
(16.49876653795208, 5.6062436549161)
(33.774224061945475, -7.03933355266354)
(63.61819748695992, 8.30578423296398)
(27.491679801302, -6.62766699866775)
(40.05699754463239, -7.3805645370145)
(5.524240624725996, -3.41350855512826)
(90.32140341688302, -9.00674211111461)
(49.48137924969459, -7.80316667356521)
(84.03827481062316, -8.86253670680197)
(69.90127864230699, 8.49415583607166)
(24.35055884826164, -6.38497754012428)
(3.9724884133209946, 2.7473717400895)
(46.33989802735888, -7.67197628766589)
(11.789566393008972, -4.93370101771901)
(88.75062041458582, 8.97165376238951)
(68.3305063083065, -8.44869996199681)
(77.75515670180697, -8.70712024791683)
(30.632913210527114, -6.84407220066339)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 99.7461113017511$$
$$x_{2} = 52.6228756848429$$
$$x_{3} = 8.65276590100135$$
$$x_{4} = 62.0474309910149$$
$$x_{5} = 96.6045402936603$$
$$x_{6} = 74.6136025037316$$
$$x_{7} = 18.0689381825286$$
$$x_{8} = 2.46662246182406$$
$$x_{9} = 55.7643844954788$$
$$x_{10} = 33.7742240619455$$
$$x_{11} = 27.491679801302$$
$$x_{12} = 40.0569975446324$$
$$x_{13} = 5.524240624726$$
$$x_{14} = 90.321403416883$$
$$x_{15} = 49.4813792496946$$
$$x_{16} = 84.0382748106232$$
$$x_{17} = 24.3505588482616$$
$$x_{18} = 46.3398980273589$$
$$x_{19} = 11.789566393009$$
$$x_{20} = 68.3305063083065$$
$$x_{21} = 77.755156701807$$
$$x_{22} = 30.6329132105271$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{22} = 25.9211023317763$$
$$x_{22} = 38.48628952834$$
$$x_{22} = 32.2035605555116$$
$$x_{22} = 47.9106365276308$$
$$x_{22} = 19.6392292115165$$
$$x_{22} = 82.4674941961375$$
$$x_{22} = 60.4766662755471$$
$$x_{22} = 66.7597352667801$$
$$x_{22} = 85.609056077116$$
$$x_{22} = 98.1753256022933$$
$$x_{22} = 76.1843791520252$$
$$x_{22} = 91.8921869333118$$
$$x_{22} = 44.7691642485154$$
$$x_{22} = 54.1936286925819$$
$$x_{22} = 10.2206977223401$$
$$x_{22} = 41.6277132716067$$
$$x_{22} = 16.4987665379521$$
$$x_{22} = 63.6181974869599$$
$$x_{22} = 69.901278642307$$
$$x_{22} = 3.97248841332099$$
$$x_{22} = 88.7506204145858$$
Decrece en los intervalos
$$\left[99.7461113017511, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.46662246182406\right]$$