Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
-
Expresiones idénticas
- (sin(x)+sin(cinco *x))/((dos *x))
- ( seno de (x) más seno de (5 multiplicar por x)) dividir por ((2 multiplicar por x))
- ( seno de (x) más seno de (cinco multiplicar por x)) dividir por ((dos multiplicar por x))
- (sin(x)+sin(5x))/((2x))
- sinx+sin5x/2x
- (sin(x)+sin(5*x)) dividir por ((2*x))
-
Expresiones semejantes
- (sin(x)-sin(5*x))/((2*x))
- (sinx+sin(5*x))/((2*x))
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)/2+(1+x)*exp(-x)
- sin(x)^1
- sin(3*x)+x^4
- sin(32*x)
- sin(4*x)*cos(x)+2*sin(3*x)-cos(4*x)*sin(x)
- Seno sin
- sin(x)/2+(1+x)*exp(-x)
- sin(x)^1
- sin(3*x)+x^4
- sin(32*x)
- sin(4*x)*cos(x)+2*sin(3*x)-cos(4*x)*sin(x)
Gráfico de la función y = (sin(x)+sin(5*x))/((2*x))
Solución
Ha introducido
[src]
sin(x) + sin(5*x)
f(x) = -----------------
2*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x}$$
f = (sin(x) + sin(5*x))/((2*x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{7} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{8} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{9} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 30.3687289847013$$
$$x_{2} = -83.7758040957278$$
$$x_{3} = -15.707963267949$$
$$x_{4} = 74.3510261349584$$
$$x_{5} = 60.7374579694027$$
$$x_{6} = -99.7455667514759$$
$$x_{7} = 21.9911485751286$$
$$x_{8} = -54.1924732744239$$
$$x_{9} = -96.6039740978861$$
$$x_{10} = -21.9911485751286$$
$$x_{11} = 4.18879020478639$$
$$x_{12} = 18.0641577581413$$
$$x_{13} = 28.2743338823081$$
$$x_{14} = 72.2566310325652$$
$$x_{15} = 24.0855436775217$$
$$x_{16} = 87.9645943005142$$
$$x_{17} = -77.7544181763474$$
$$x_{18} = -76.1836218495525$$
$$x_{19} = -43.9822971502571$$
$$x_{20} = -39.7935069454707$$
$$x_{21} = 50.2654824574367$$
$$x_{22} = 2.0943951023932$$
$$x_{23} = 76.1836218495525$$
$$x_{24} = 54.1924732744239$$
$$x_{25} = -61.7846555205993$$
$$x_{26} = -35.6047167406843$$
$$x_{27} = -91.106186954104$$
$$x_{28} = 104.457955731861$$
$$x_{29} = 84.037603483527$$
$$x_{30} = -41.8879020478639$$
$$x_{31} = -53.4070751110265$$
$$x_{32} = -85.870199198121$$
$$x_{33} = -33.7721210260903$$
$$x_{34} = 10.2101761241668$$
$$x_{35} = -79.5870138909414$$
$$x_{36} = -81.6814089933346$$
$$x_{37} = 94.2477796076938$$
$$x_{38} = 52.3598775598299$$
$$x_{39} = 11.5191730631626$$
$$x_{40} = 85.870199198121$$
$$x_{41} = -28.2743338823081$$
$$x_{42} = -69.9004365423729$$
$$x_{43} = -24.0855436775217$$
$$x_{44} = -32.2013246992954$$
$$x_{45} = -40.0553063332699$$
$$x_{46} = -68.0678408277789$$
$$x_{47} = 96.342174710087$$
$$x_{48} = 65.9734457253857$$
$$x_{49} = 98.174770424681$$
$$x_{50} = -17.8023583703422$$
$$x_{51} = 82.7286065445312$$
$$x_{52} = 55.5014702134197$$
$$x_{53} = 90.3207887907066$$
$$x_{54} = -25.9181393921158$$
$$x_{55} = 38.7463093942741$$
$$x_{56} = 11136.1605588124$$
$$x_{57} = -87.9645943005142$$
$$x_{58} = 92.1533845053006$$
$$x_{59} = -19.8967534727354$$
$$x_{60} = 33.5103216382911$$
$$x_{61} = -98.174770424681$$
$$x_{62} = 130.899693899575$$
$$x_{63} = 78.5398163397448$$
$$x_{64} = -6.28318530717959$$
$$x_{65} = -47.9092879672443$$
$$x_{66} = -57.5958653158129$$
$$x_{67} = -2.0943951023932$$
$$x_{68} = -70.162235930172$$
$$x_{69} = -55.7632696012188$$
$$x_{70} = -91.8915851175014$$
$$x_{71} = 40.0553063332699$$
$$x_{72} = -90.0589894029074$$
$$x_{73} = 48.1710873550435$$
$$x_{74} = 41.8879020478639$$
$$x_{75} = -65.9734457253857$$
$$x_{76} = -11.7809724509617$$
$$x_{77} = 43.9822971502571$$
$$x_{78} = 70.162235930172$$
$$x_{79} = -37.6991118430775$$
$$x_{80} = -59.6902604182061$$
$$x_{81} = -75.398223686155$$
$$x_{82} = -13.6135681655558$$
$$x_{83} = 75.398223686155$$
$$x_{84} = 6.28318530717959$$
$$x_{85} = -3.92699081698724$$
$$x_{86} = 32.2013246992954$$
$$x_{87} = 13.3517687777566$$
$$x_{88} = -63.8790506229925$$
$$x_{89} = 19.8967534727354$$
$$x_{90} = -10.471975511966$$
$$x_{91} = 63.8790506229925$$
$$x_{92} = -46.0766922526503$$
$$x_{93} = 8.37758040957278$$
$$x_{94} = 62.0464549083984$$
$$x_{95} = 26.1799387799149$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{7} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{8} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{9} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 30.3687289847013$$
$$x_{2} = -83.7758040957278$$
$$x_{3} = -15.707963267949$$
$$x_{4} = 74.3510261349584$$
$$x_{5} = 60.7374579694027$$
$$x_{6} = -99.7455667514759$$
$$x_{7} = 21.9911485751286$$
$$x_{8} = -54.1924732744239$$
$$x_{9} = -96.6039740978861$$
$$x_{10} = -21.9911485751286$$
$$x_{11} = 4.18879020478639$$
$$x_{12} = 18.0641577581413$$
$$x_{13} = 28.2743338823081$$
$$x_{14} = 72.2566310325652$$
$$x_{15} = 24.0855436775217$$
$$x_{16} = 87.9645943005142$$
$$x_{17} = -77.7544181763474$$
$$x_{18} = -76.1836218495525$$
$$x_{19} = -43.9822971502571$$
$$x_{20} = -39.7935069454707$$
$$x_{21} = 50.2654824574367$$
$$x_{22} = 2.0943951023932$$
$$x_{23} = 76.1836218495525$$
$$x_{24} = 54.1924732744239$$
$$x_{25} = -61.7846555205993$$
$$x_{26} = -35.6047167406843$$
$$x_{27} = -91.106186954104$$
$$x_{28} = 104.457955731861$$
$$x_{29} = 84.037603483527$$
$$x_{30} = -41.8879020478639$$
$$x_{31} = -53.4070751110265$$
$$x_{32} = -85.870199198121$$
$$x_{33} = -33.7721210260903$$
$$x_{34} = 10.2101761241668$$
$$x_{35} = -79.5870138909414$$
$$x_{36} = -81.6814089933346$$
$$x_{37} = 94.2477796076938$$
$$x_{38} = 52.3598775598299$$
$$x_{39} = 11.5191730631626$$
$$x_{40} = 85.870199198121$$
$$x_{41} = -28.2743338823081$$
$$x_{42} = -69.9004365423729$$
$$x_{43} = -24.0855436775217$$
$$x_{44} = -32.2013246992954$$
$$x_{45} = -40.0553063332699$$
$$x_{46} = -68.0678408277789$$
$$x_{47} = 96.342174710087$$
$$x_{48} = 65.9734457253857$$
$$x_{49} = 98.174770424681$$
$$x_{50} = -17.8023583703422$$
$$x_{51} = 82.7286065445312$$
$$x_{52} = 55.5014702134197$$
$$x_{53} = 90.3207887907066$$
$$x_{54} = -25.9181393921158$$
$$x_{55} = 38.7463093942741$$
$$x_{56} = 11136.1605588124$$
$$x_{57} = -87.9645943005142$$
$$x_{58} = 92.1533845053006$$
$$x_{59} = -19.8967534727354$$
$$x_{60} = 33.5103216382911$$
$$x_{61} = -98.174770424681$$
$$x_{62} = 130.899693899575$$
$$x_{63} = 78.5398163397448$$
$$x_{64} = -6.28318530717959$$
$$x_{65} = -47.9092879672443$$
$$x_{66} = -57.5958653158129$$
$$x_{67} = -2.0943951023932$$
$$x_{68} = -70.162235930172$$
$$x_{69} = -55.7632696012188$$
$$x_{70} = -91.8915851175014$$
$$x_{71} = 40.0553063332699$$
$$x_{72} = -90.0589894029074$$
$$x_{73} = 48.1710873550435$$
$$x_{74} = 41.8879020478639$$
$$x_{75} = -65.9734457253857$$
$$x_{76} = -11.7809724509617$$
$$x_{77} = 43.9822971502571$$
$$x_{78} = 70.162235930172$$
$$x_{79} = -37.6991118430775$$
$$x_{80} = -59.6902604182061$$
$$x_{81} = -75.398223686155$$
$$x_{82} = -13.6135681655558$$
$$x_{83} = 75.398223686155$$
$$x_{84} = 6.28318530717959$$
$$x_{85} = -3.92699081698724$$
$$x_{86} = 32.2013246992954$$
$$x_{87} = 13.3517687777566$$
$$x_{88} = -63.8790506229925$$
$$x_{89} = 19.8967534727354$$
$$x_{90} = -10.471975511966$$
$$x_{91} = 63.8790506229925$$
$$x_{92} = -46.0766922526503$$
$$x_{93} = 8.37758040957278$$
$$x_{94} = 62.0464549083984$$
$$x_{95} = 26.1799387799149$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{2 x} \left(\cos{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -17.9309707406942$$
$$x_{2} = 82.0326913256809$$
$$x_{3} = 66.3245743061849$$
$$x_{4} = -71.9039578993605$$
$$x_{5} = -75.7494521674681$$
$$x_{6} = 5.92222218177546$$
$$x_{7} = 90.1879702595354$$
$$x_{8} = 83.9047781039066$$
$$x_{9} = -114.667461020638$$
$$x_{10} = 61.913594613359$$
$$x_{11} = -43.6291432937174$$
$$x_{12} = -36.1261862516828$$
$$x_{13} = -70.0330458339313$$
$$x_{14} = -63.749848917538$$
$$x_{15} = -14.1317240519071$$
$$x_{16} = 49.912482519663$$
$$x_{17} = -26.0505498058443$$
$$x_{18} = -82.0326913256809$$
$$x_{19} = -31.7661820208789$$
$$x_{20} = 17.9309707406942$$
$$x_{21} = -83.9047781039066$$
$$x_{22} = 78.1872028025887$$
$$x_{23} = -27.9204918749473$$
$$x_{24} = 100.178501077926$$
$$x_{25} = -41.7586321968141$$
$$x_{26} = 70.0330458339313$$
$$x_{27} = 56.1957873110138$$
$$x_{28} = -33.639148765766$$
$$x_{29} = -65.6207015791462$$
$$x_{30} = 68.1967921940531$$
$$x_{31} = 16.0565812988432$$
$$x_{32} = -19.7672638326169$$
$$x_{33} = -87.6120541253982$$
$$x_{34} = 29.1921765407575$$
$$x_{35} = 44.333027533125$$
$$x_{36} = -97.740758937935$$
$$x_{37} = 27.9204918749473$$
$$x_{38} = 26.0505498058443$$
$$x_{39} = -51.8347947877018$$
$$x_{40} = -4.05768431094488$$
$$x_{41} = -60.0413049814727$$
$$x_{42} = 107.165584825836$$
$$x_{43} = 72.6078290944473$$
$$x_{44} = 71.9039578993605$$
$$x_{45} = -93.8952801564952$$
$$x_{46} = -55.6303942603175$$
$$x_{47} = 34.2040283469372$$
$$x_{48} = 54.3250485075438$$
$$x_{49} = -95.8177731298408$$
$$x_{50} = 46.2055860587154$$
$$x_{51} = -76.9680205993594$$
$$x_{52} = -53.7580160254341$$
$$x_{53} = -38.0496439641879$$
$$x_{54} = -9.77127021564343$$
$$x_{55} = -73.8263854165807$$
$$x_{56} = 98.3074135930337$$
$$x_{57} = 294.391556180398$$
$$x_{58} = 36.1261862516828$$
$$x_{59} = -60.6082495566679$$
$$x_{60} = 2.21975854306831$$
$$x_{61} = 39.9223726590362$$
$$x_{62} = 88.3159228235119$$
$$x_{63} = 58.1181405332061$$
$$x_{64} = 7.20016463886828$$
$$x_{65} = -49.912482519663$$
$$x_{66} = -7.84417758696119$$
$$x_{67} = -5.92222218177546$$
$$x_{68} = 65.6207015791462$$
$$x_{69} = 48.0418433405569$$
$$x_{70} = -92.024222556746$$
$$x_{71} = -11.647537375823$$
$$x_{72} = -106.461717794596$$
$$x_{73} = 93.8952801564952$$
$$x_{74} = -39.9223726590362$$
$$x_{75} = -29.8425526210944$$
$$x_{76} = 86.3929075889945$$
$$x_{77} = 12.210066212243$$
$$x_{78} = -58.1181405332061$$
$$x_{79} = 92.024222556746$$
$$x_{80} = -85.7410306807642$$
$$x_{81} = 76.3162408386658$$
$$x_{82} = -61.913594613359$$
$$x_{83} = -16.0565812988432$$
$$x_{84} = 22.3406976411955$$
$$x_{85} = 80.1096524464143$$
$$x_{86} = 32.3337966523473$$
$$x_{87} = 4.05768431094488$$
$$x_{88} = -21.6367512054142$$
$$x_{89} = -48.0418433405569$$
$$x_{90} = -80.1096524464143$$
$$x_{91} = 14.1317240519071$$
$$x_{92} = 38.0496439641879$$
$$x_{93} = 24.2142753830252$$
$$x_{94} = -91.4575361930417$$
$$x_{95} = 43.0639803835175$$
$$x_{96} = 10.342105473901$$
$$x_{97} = 60.0413049814727$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 66.3245743061849$$
$$x_{2} = 5.92222218177546$$
$$x_{3} = 90.1879702595354$$
$$x_{4} = 83.9047781039066$$
$$x_{5} = -43.6291432937174$$
$$x_{6} = -36.1261862516828$$
$$x_{7} = -70.0330458339313$$
$$x_{8} = -63.749848917538$$
$$x_{9} = 49.912482519663$$
$$x_{10} = -26.0505498058443$$
$$x_{11} = -83.9047781039066$$
$$x_{12} = 100.178501077926$$
$$x_{13} = 70.0330458339313$$
$$x_{14} = 56.1957873110138$$
$$x_{15} = -33.639148765766$$
$$x_{16} = 16.0565812988432$$
$$x_{17} = -19.7672638326169$$
$$x_{18} = -87.6120541253982$$
$$x_{19} = -97.740758937935$$
$$x_{20} = 26.0505498058443$$
$$x_{21} = -60.0413049814727$$
$$x_{22} = 72.6078290944473$$
$$x_{23} = -93.8952801564952$$
$$x_{24} = 46.2055860587154$$
$$x_{25} = -53.7580160254341$$
$$x_{26} = -9.77127021564343$$
$$x_{27} = -73.8263854165807$$
$$x_{28} = 36.1261862516828$$
$$x_{29} = 2.21975854306831$$
$$x_{30} = 39.9223726590362$$
$$x_{31} = 7.20016463886828$$
$$x_{32} = -49.912482519663$$
$$x_{33} = -5.92222218177546$$
$$x_{34} = -106.461717794596$$
$$x_{35} = 93.8952801564952$$
$$x_{36} = -39.9223726590362$$
$$x_{37} = -29.8425526210944$$
$$x_{38} = 86.3929075889945$$
$$x_{39} = 12.210066212243$$
$$x_{40} = 76.3162408386658$$
$$x_{41} = -16.0565812988432$$
$$x_{42} = 22.3406976411955$$
$$x_{43} = 80.1096524464143$$
$$x_{44} = 32.3337966523473$$
$$x_{45} = -80.1096524464143$$
$$x_{46} = -91.4575361930417$$
$$x_{47} = 60.0413049814727$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{47} = -17.9309707406942$$
$$x_{47} = 82.0326913256809$$
$$x_{47} = -71.9039578993605$$
$$x_{47} = -75.7494521674681$$
$$x_{47} = -114.667461020638$$
$$x_{47} = 61.913594613359$$
$$x_{47} = -14.1317240519071$$
$$x_{47} = -82.0326913256809$$
$$x_{47} = -31.7661820208789$$
$$x_{47} = 17.9309707406942$$
$$x_{47} = 78.1872028025887$$
$$x_{47} = -27.9204918749473$$
$$x_{47} = -41.7586321968141$$
$$x_{47} = -65.6207015791462$$
$$x_{47} = 68.1967921940531$$
$$x_{47} = 29.1921765407575$$
$$x_{47} = 44.333027533125$$
$$x_{47} = 27.9204918749473$$
$$x_{47} = -51.8347947877018$$
$$x_{47} = -4.05768431094488$$
$$x_{47} = 107.165584825836$$
$$x_{47} = 71.9039578993605$$
$$x_{47} = -55.6303942603175$$
$$x_{47} = 34.2040283469372$$
$$x_{47} = 54.3250485075438$$
$$x_{47} = -95.8177731298408$$
$$x_{47} = -76.9680205993594$$
$$x_{47} = -38.0496439641879$$
$$x_{47} = 98.3074135930337$$
$$x_{47} = 294.391556180398$$
$$x_{47} = -60.6082495566679$$
$$x_{47} = 88.3159228235119$$
$$x_{47} = 58.1181405332061$$
$$x_{47} = -7.84417758696119$$
$$x_{47} = 65.6207015791462$$
$$x_{47} = 48.0418433405569$$
$$x_{47} = -92.024222556746$$
$$x_{47} = -11.647537375823$$
$$x_{47} = -58.1181405332061$$
$$x_{47} = 92.024222556746$$
$$x_{47} = -85.7410306807642$$
$$x_{47} = -61.913594613359$$
$$x_{47} = 4.05768431094488$$
$$x_{47} = -21.6367512054142$$
$$x_{47} = -48.0418433405569$$
$$x_{47} = 14.1317240519071$$
$$x_{47} = 38.0496439641879$$
$$x_{47} = 24.2142753830252$$
$$x_{47} = 43.0639803835175$$
$$x_{47} = 10.342105473901$$
Decrece en los intervalos
$$\left[100.178501077926, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -106.461717794596\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{2 x} \left(\cos{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -17.9309707406942$$
$$x_{2} = 82.0326913256809$$
$$x_{3} = 66.3245743061849$$
$$x_{4} = -71.9039578993605$$
$$x_{5} = -75.7494521674681$$
$$x_{6} = 5.92222218177546$$
$$x_{7} = 90.1879702595354$$
$$x_{8} = 83.9047781039066$$
$$x_{9} = -114.667461020638$$
$$x_{10} = 61.913594613359$$
$$x_{11} = -43.6291432937174$$
$$x_{12} = -36.1261862516828$$
$$x_{13} = -70.0330458339313$$
$$x_{14} = -63.749848917538$$
$$x_{15} = -14.1317240519071$$
$$x_{16} = 49.912482519663$$
$$x_{17} = -26.0505498058443$$
$$x_{18} = -82.0326913256809$$
$$x_{19} = -31.7661820208789$$
$$x_{20} = 17.9309707406942$$
$$x_{21} = -83.9047781039066$$
$$x_{22} = 78.1872028025887$$
$$x_{23} = -27.9204918749473$$
$$x_{24} = 100.178501077926$$
$$x_{25} = -41.7586321968141$$
$$x_{26} = 70.0330458339313$$
$$x_{27} = 56.1957873110138$$
$$x_{28} = -33.639148765766$$
$$x_{29} = -65.6207015791462$$
$$x_{30} = 68.1967921940531$$
$$x_{31} = 16.0565812988432$$
$$x_{32} = -19.7672638326169$$
$$x_{33} = -87.6120541253982$$
$$x_{34} = 29.1921765407575$$
$$x_{35} = 44.333027533125$$
$$x_{36} = -97.740758937935$$
$$x_{37} = 27.9204918749473$$
$$x_{38} = 26.0505498058443$$
$$x_{39} = -51.8347947877018$$
$$x_{40} = -4.05768431094488$$
$$x_{41} = -60.0413049814727$$
$$x_{42} = 107.165584825836$$
$$x_{43} = 72.6078290944473$$
$$x_{44} = 71.9039578993605$$
$$x_{45} = -93.8952801564952$$
$$x_{46} = -55.6303942603175$$
$$x_{47} = 34.2040283469372$$
$$x_{48} = 54.3250485075438$$
$$x_{49} = -95.8177731298408$$
$$x_{50} = 46.2055860587154$$
$$x_{51} = -76.9680205993594$$
$$x_{52} = -53.7580160254341$$
$$x_{53} = -38.0496439641879$$
$$x_{54} = -9.77127021564343$$
$$x_{55} = -73.8263854165807$$
$$x_{56} = 98.3074135930337$$
$$x_{57} = 294.391556180398$$
$$x_{58} = 36.1261862516828$$
$$x_{59} = -60.6082495566679$$
$$x_{60} = 2.21975854306831$$
$$x_{61} = 39.9223726590362$$
$$x_{62} = 88.3159228235119$$
$$x_{63} = 58.1181405332061$$
$$x_{64} = 7.20016463886828$$
$$x_{65} = -49.912482519663$$
$$x_{66} = -7.84417758696119$$
$$x_{67} = -5.92222218177546$$
$$x_{68} = 65.6207015791462$$
$$x_{69} = 48.0418433405569$$
$$x_{70} = -92.024222556746$$
$$x_{71} = -11.647537375823$$
$$x_{72} = -106.461717794596$$
$$x_{73} = 93.8952801564952$$
$$x_{74} = -39.9223726590362$$
$$x_{75} = -29.8425526210944$$
$$x_{76} = 86.3929075889945$$
$$x_{77} = 12.210066212243$$
$$x_{78} = -58.1181405332061$$
$$x_{79} = 92.024222556746$$
$$x_{80} = -85.7410306807642$$
$$x_{81} = 76.3162408386658$$
$$x_{82} = -61.913594613359$$
$$x_{83} = -16.0565812988432$$
$$x_{84} = 22.3406976411955$$
$$x_{85} = 80.1096524464143$$
$$x_{86} = 32.3337966523473$$
$$x_{87} = 4.05768431094488$$
$$x_{88} = -21.6367512054142$$
$$x_{89} = -48.0418433405569$$
$$x_{90} = -80.1096524464143$$
$$x_{91} = 14.1317240519071$$
$$x_{92} = 38.0496439641879$$
$$x_{93} = 24.2142753830252$$
$$x_{94} = -91.4575361930417$$
$$x_{95} = 43.0639803835175$$
$$x_{96} = 10.342105473901$$
$$x_{97} = 60.0413049814727$$
Signos de extremos en los puntos:
(-17.930970740694246, 0.0055247725811907)
(82.03269132568089, 0.00808778163675302)
(66.3245743061849, -0.0100032470724342)
(-71.90395789936049, 0.00922705396366186)
(-75.74945216746812, 0.00875863814106626)
(5.922222181775459, -0.111944270051768)
(90.18797025953539, -0.00109843647071805)
(83.90477810390662, -0.00118069256826088)
(-114.66746102063841, 0.00872084430902226)
(61.91359461335903, 0.00160006376663961)
(-43.62914329371736, -0.01520671222499)
(-36.12618625168279, -0.0276799362050348)
(-70.03304583393134, -0.00141455682093289)
(-63.74984891753795, -0.00155397553290005)
(-14.131724051907055, 0.0707491488647428)
(49.912482519663, -0.0132924267934124)
(-26.050549805844287, -0.00380280664322429)
(-82.03269132568089, 0.00808778163675302)
(-31.766182020878944, 0.0208853433999961)
(17.930970740694246, 0.0055247725811907)
(-83.90477810390662, -0.00118069256826088)
(78.18720280258874, 0.00848556034437668)
(-27.920491874947288, 0.0237618456444247)
(100.17850107792617, -0.00662281179361756)
(-41.75863219681414, 0.00237233756116232)
(70.03304583393134, -0.00141455682093289)
(56.19578731101384, -0.0118062145075934)
(-33.63914876576596, -0.00294494505946919)
(-65.62070157914623, 0.0101105443428846)
(68.19679219405315, 0.00145264483782593)
(16.05658129884322, -0.0413161858948838)
(-19.767263832616866, -0.00501155653336639)
(-87.61205412539822, -0.00757273440507157)
(29.192176540757455, 0.00339355739212614)
(44.333027533124984, 0.0149652791502446)
(-97.74075893793497, -0.00678798975807558)
(27.920491874947288, 0.0237618456444247)
(26.050549805844287, -0.00380280664322429)
(-51.83479478770184, 0.0192917844000697)
(-4.057684310944882, 0.0244082523385398)
(-60.041304981472656, -0.0110500632779462)
(107.16558482583604, 0.00619101349298462)
(72.6078290944473, -0.00913760646746611)
(71.90395789936049, 0.00922705396366186)
(-93.89528015649516, -0.00706599004275581)
(-55.63039426031747, 0.00178078324424242)
(34.20402834693719, 0.0193968379825755)
(54.32504850754379, 0.00182357255545752)
(-95.81777312984083, 0.0104364334311013)
(46.205586058715355, -0.00214401813882137)
(-76.96802059935938, 0.0129923246024391)
(-53.758016025434124, -0.0123415828211396)
(-38.04964396418791, 0.0174365079794848)
(-9.771270215643433, -0.0678806979053923)
(-73.82638541658072, -0.0135451971227061)
(98.30741359303366, 0.00100771406838763)
(294.3915561803981, 0.000336510335259028)
(36.12618625168279, -0.0276799362050348)
(-60.608249556667886, 0.00163452492813244)
(2.2197585430683056, -0.0445918508116451)
(39.92237265903623, -0.00248145445914035)
(88.31592282351193, 0.00751238093422703)
(58.11814053320614, 0.0172061357112342)
(7.2001646388682765, -0.0137577302013311)
(-49.912482519663, -0.0132924267934124)
(-7.844177586961194, 0.127403457367743)
(-5.922222181775459, -0.111944270051768)
(65.62070157914623, 0.0101105443428846)
(48.04184334055685, 0.00206206968883238)
(-92.02422255674598, 0.00107651827944561)
(-11.647537375823008, 0.00850504207140542)
(-106.46171779459638, -0.00623194490968657)
(93.89528015649516, -0.00706599004275581)
(-39.92237265903623, -0.00248145445914035)
(-29.84255262109437, -0.0335077507454652)
(86.39290758899453, -0.0115749645985217)
(12.21006621224299, -0.054327818352075)
(-58.11814053320614, 0.0172061357112342)
(92.02422255674598, 0.00107651827944561)
(-85.7410306807642, 0.00115540657275765)
(76.31624083866579, -0.00129809506783185)
(-61.91359461335903, 0.00160006376663961)
(-16.05658129884322, -0.0413161858948838)
(22.340697641195526, -0.0296960177862559)
(80.1096524464143, -0.0124828154451489)
(32.33379665234729, -0.00306383491585732)
(4.057684310944882, 0.0244082523385398)
(-21.636751205414203, 0.0306620573156617)
(-48.04184334055685, 0.00206206968883238)
(-80.1096524464143, -0.0124828154451489)
(14.131724051907055, 0.0707491488647428)
(38.04964396418791, 0.0174365079794848)
(24.21427538302517, 0.00409118619885283)
(-91.45753619304172, -0.00725432846081434)
(43.063980383517524, 0.00230042798658153)
(10.34210547390096, 0.00957851236449886)
(60.041304981472656, -0.0110500632779462)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 66.3245743061849$$
$$x_{2} = 5.92222218177546$$
$$x_{3} = 90.1879702595354$$
$$x_{4} = 83.9047781039066$$
$$x_{5} = -43.6291432937174$$
$$x_{6} = -36.1261862516828$$
$$x_{7} = -70.0330458339313$$
$$x_{8} = -63.749848917538$$
$$x_{9} = 49.912482519663$$
$$x_{10} = -26.0505498058443$$
$$x_{11} = -83.9047781039066$$
$$x_{12} = 100.178501077926$$
$$x_{13} = 70.0330458339313$$
$$x_{14} = 56.1957873110138$$
$$x_{15} = -33.639148765766$$
$$x_{16} = 16.0565812988432$$
$$x_{17} = -19.7672638326169$$
$$x_{18} = -87.6120541253982$$
$$x_{19} = -97.740758937935$$
$$x_{20} = 26.0505498058443$$
$$x_{21} = -60.0413049814727$$
$$x_{22} = 72.6078290944473$$
$$x_{23} = -93.8952801564952$$
$$x_{24} = 46.2055860587154$$
$$x_{25} = -53.7580160254341$$
$$x_{26} = -9.77127021564343$$
$$x_{27} = -73.8263854165807$$
$$x_{28} = 36.1261862516828$$
$$x_{29} = 2.21975854306831$$
$$x_{30} = 39.9223726590362$$
$$x_{31} = 7.20016463886828$$
$$x_{32} = -49.912482519663$$
$$x_{33} = -5.92222218177546$$
$$x_{34} = -106.461717794596$$
$$x_{35} = 93.8952801564952$$
$$x_{36} = -39.9223726590362$$
$$x_{37} = -29.8425526210944$$
$$x_{38} = 86.3929075889945$$
$$x_{39} = 12.210066212243$$
$$x_{40} = 76.3162408386658$$
$$x_{41} = -16.0565812988432$$
$$x_{42} = 22.3406976411955$$
$$x_{43} = 80.1096524464143$$
$$x_{44} = 32.3337966523473$$
$$x_{45} = -80.1096524464143$$
$$x_{46} = -91.4575361930417$$
$$x_{47} = 60.0413049814727$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{47} = -17.9309707406942$$
$$x_{47} = 82.0326913256809$$
$$x_{47} = -71.9039578993605$$
$$x_{47} = -75.7494521674681$$
$$x_{47} = -114.667461020638$$
$$x_{47} = 61.913594613359$$
$$x_{47} = -14.1317240519071$$
$$x_{47} = -82.0326913256809$$
$$x_{47} = -31.7661820208789$$
$$x_{47} = 17.9309707406942$$
$$x_{47} = 78.1872028025887$$
$$x_{47} = -27.9204918749473$$
$$x_{47} = -41.7586321968141$$
$$x_{47} = -65.6207015791462$$
$$x_{47} = 68.1967921940531$$
$$x_{47} = 29.1921765407575$$
$$x_{47} = 44.333027533125$$
$$x_{47} = 27.9204918749473$$
$$x_{47} = -51.8347947877018$$
$$x_{47} = -4.05768431094488$$
$$x_{47} = 107.165584825836$$
$$x_{47} = 71.9039578993605$$
$$x_{47} = -55.6303942603175$$
$$x_{47} = 34.2040283469372$$
$$x_{47} = 54.3250485075438$$
$$x_{47} = -95.8177731298408$$
$$x_{47} = -76.9680205993594$$
$$x_{47} = -38.0496439641879$$
$$x_{47} = 98.3074135930337$$
$$x_{47} = 294.391556180398$$
$$x_{47} = -60.6082495566679$$
$$x_{47} = 88.3159228235119$$
$$x_{47} = 58.1181405332061$$
$$x_{47} = -7.84417758696119$$
$$x_{47} = 65.6207015791462$$
$$x_{47} = 48.0418433405569$$
$$x_{47} = -92.024222556746$$
$$x_{47} = -11.647537375823$$
$$x_{47} = -58.1181405332061$$
$$x_{47} = 92.024222556746$$
$$x_{47} = -85.7410306807642$$
$$x_{47} = -61.913594613359$$
$$x_{47} = 4.05768431094488$$
$$x_{47} = -21.6367512054142$$
$$x_{47} = -48.0418433405569$$
$$x_{47} = 14.1317240519071$$
$$x_{47} = 38.0496439641879$$
$$x_{47} = 24.2142753830252$$
$$x_{47} = 43.0639803835175$$
$$x_{47} = 10.342105473901$$
Decrece en los intervalos
$$\left[100.178501077926, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -106.461717794596\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{25 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -79.7878008628026$$
$$x_{2} = 98.0217342173331$$
$$x_{3} = -13.8093440660756$$
$$x_{4} = -38.3303957568513$$
$$x_{5} = 11.9277187148635$$
$$x_{6} = 32.0468623774595$$
$$x_{7} = -54.038874194491$$
$$x_{8} = 60.3221902770435$$
$$x_{9} = 87.9635115952522$$
$$x_{10} = -99.8972379485083$$
$$x_{11} = 16.3368477727999$$
$$x_{12} = 52.15639740704$$
$$x_{13} = 72.2553129456936$$
$$x_{14} = 55.9144109811884$$
$$x_{15} = -93.6140073912334$$
$$x_{16} = 54.038874194491$$
$$x_{17} = 18.2128227134884$$
$$x_{18} = -19.4791172531479$$
$$x_{19} = -5.63842894050778$$
$$x_{20} = -23.880117825039$$
$$x_{21} = -91.7385015918867$$
$$x_{22} = -20.094413317986$$
$$x_{23} = -42.0877420893643$$
$$x_{24} = -96.1394424269228$$
$$x_{25} = 26.3785902713085$$
$$x_{26} = 20.094413317986$$
$$x_{27} = 42.0877420893643$$
$$x_{28} = -47.7555236029111$$
$$x_{29} = -9.41465774353575$$
$$x_{30} = -37.6965853381453$$
$$x_{31} = 0.418469703753351$$
$$x_{32} = -77.9058991185128$$
$$x_{33} = 89.212690734091$$
$$x_{34} = 62.1977177569596$$
$$x_{35} = 99.8972379485083$$
$$x_{36} = 74.1480310694299$$
$$x_{37} = -32.0468623774595$$
$$x_{38} = -33.305913281543$$
$$x_{39} = 84.1891489107685$$
$$x_{40} = -57.7962496213193$$
$$x_{41} = 64.0795781071265$$
$$x_{42} = 43.9801316282738$$
$$x_{43} = 96.1394424269228$$
$$x_{44} = -74.7642701649433$$
$$x_{45} = 65.9720020991064$$
$$x_{46} = -25.7631583226377$$
$$x_{47} = 23.880117825039$$
$$x_{48} = -55.9144109811884$$
$$x_{49} = -81.6802429998566$$
$$x_{50} = 4.37192983350525$$
$$x_{51} = 86.0710634950441$$
$$x_{52} = 28.2709649642579$$
$$x_{53} = -45.8729877668488$$
$$x_{54} = -87.9635115952522$$
$$x_{55} = -11.9277187148635$$
$$x_{56} = -76.0303857522595$$
$$x_{57} = 21.986816639078$$
$$x_{58} = 94.2467690850171$$
$$x_{59} = 76.0303857522595$$
$$x_{60} = -33.9224842575688$$
$$x_{61} = 70.3628810804641$$
$$x_{62} = 67.8647393242893$$
$$x_{63} = 6.26797641950161$$
$$x_{64} = -21.986816639078$$
$$x_{65} = -52.7727467731626$$
$$x_{66} = 48.3711873805011$$
$$x_{67} = 8.16512799912244$$
$$x_{68} = -98.0217342173331$$
$$x_{69} = -67.8647393242893$$
$$x_{70} = -35.8042059561289$$
$$x_{71} = 40.2059784772551$$
$$x_{72} = -27.6388502334442$$
$$x_{73} = 38.3303957568513$$
$$x_{74} = -64.0795781071265$$
$$x_{75} = -86.0710634950441$$
$$x_{76} = 77.9058991185128$$
$$x_{77} = -3.75601228285834$$
$$x_{78} = -65.9720020991064$$
$$x_{79} = -59.688664820481$$
$$x_{80} = 92.354315624283$$
$$x_{81} = 10.0510216607297$$
$$x_{82} = -69.7471201373367$$
$$x_{83} = -114.989143475768$$
$$x_{84} = -10.0510216607297$$
$$x_{85} = -49.6310735299992$$
$$x_{86} = 50.2635876561804$$
$$x_{87} = -1.84202577093817$$
$$x_{88} = 45.8729877668488$$
$$x_{89} = -15.7018969575243$$
$$x_{90} = -89.8561951883464$$
$$x_{91} = 30.164052511112$$
$$x_{92} = 80.43130615057$$
$$x_{93} = -43.9801316282738$$
$$x_{94} = -71.6226380326738$$
$$x_{95} = 82.3136390871251$$
$$x_{96} = 33.9224842575688$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{25 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -21$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{25 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -21$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[99.8972379485083, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -98.0217342173331\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{25 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -79.7878008628026$$
$$x_{2} = 98.0217342173331$$
$$x_{3} = -13.8093440660756$$
$$x_{4} = -38.3303957568513$$
$$x_{5} = 11.9277187148635$$
$$x_{6} = 32.0468623774595$$
$$x_{7} = -54.038874194491$$
$$x_{8} = 60.3221902770435$$
$$x_{9} = 87.9635115952522$$
$$x_{10} = -99.8972379485083$$
$$x_{11} = 16.3368477727999$$
$$x_{12} = 52.15639740704$$
$$x_{13} = 72.2553129456936$$
$$x_{14} = 55.9144109811884$$
$$x_{15} = -93.6140073912334$$
$$x_{16} = 54.038874194491$$
$$x_{17} = 18.2128227134884$$
$$x_{18} = -19.4791172531479$$
$$x_{19} = -5.63842894050778$$
$$x_{20} = -23.880117825039$$
$$x_{21} = -91.7385015918867$$
$$x_{22} = -20.094413317986$$
$$x_{23} = -42.0877420893643$$
$$x_{24} = -96.1394424269228$$
$$x_{25} = 26.3785902713085$$
$$x_{26} = 20.094413317986$$
$$x_{27} = 42.0877420893643$$
$$x_{28} = -47.7555236029111$$
$$x_{29} = -9.41465774353575$$
$$x_{30} = -37.6965853381453$$
$$x_{31} = 0.418469703753351$$
$$x_{32} = -77.9058991185128$$
$$x_{33} = 89.212690734091$$
$$x_{34} = 62.1977177569596$$
$$x_{35} = 99.8972379485083$$
$$x_{36} = 74.1480310694299$$
$$x_{37} = -32.0468623774595$$
$$x_{38} = -33.305913281543$$
$$x_{39} = 84.1891489107685$$
$$x_{40} = -57.7962496213193$$
$$x_{41} = 64.0795781071265$$
$$x_{42} = 43.9801316282738$$
$$x_{43} = 96.1394424269228$$
$$x_{44} = -74.7642701649433$$
$$x_{45} = 65.9720020991064$$
$$x_{46} = -25.7631583226377$$
$$x_{47} = 23.880117825039$$
$$x_{48} = -55.9144109811884$$
$$x_{49} = -81.6802429998566$$
$$x_{50} = 4.37192983350525$$
$$x_{51} = 86.0710634950441$$
$$x_{52} = 28.2709649642579$$
$$x_{53} = -45.8729877668488$$
$$x_{54} = -87.9635115952522$$
$$x_{55} = -11.9277187148635$$
$$x_{56} = -76.0303857522595$$
$$x_{57} = 21.986816639078$$
$$x_{58} = 94.2467690850171$$
$$x_{59} = 76.0303857522595$$
$$x_{60} = -33.9224842575688$$
$$x_{61} = 70.3628810804641$$
$$x_{62} = 67.8647393242893$$
$$x_{63} = 6.26797641950161$$
$$x_{64} = -21.986816639078$$
$$x_{65} = -52.7727467731626$$
$$x_{66} = 48.3711873805011$$
$$x_{67} = 8.16512799912244$$
$$x_{68} = -98.0217342173331$$
$$x_{69} = -67.8647393242893$$
$$x_{70} = -35.8042059561289$$
$$x_{71} = 40.2059784772551$$
$$x_{72} = -27.6388502334442$$
$$x_{73} = 38.3303957568513$$
$$x_{74} = -64.0795781071265$$
$$x_{75} = -86.0710634950441$$
$$x_{76} = 77.9058991185128$$
$$x_{77} = -3.75601228285834$$
$$x_{78} = -65.9720020991064$$
$$x_{79} = -59.688664820481$$
$$x_{80} = 92.354315624283$$
$$x_{81} = 10.0510216607297$$
$$x_{82} = -69.7471201373367$$
$$x_{83} = -114.989143475768$$
$$x_{84} = -10.0510216607297$$
$$x_{85} = -49.6310735299992$$
$$x_{86} = 50.2635876561804$$
$$x_{87} = -1.84202577093817$$
$$x_{88} = 45.8729877668488$$
$$x_{89} = -15.7018969575243$$
$$x_{90} = -89.8561951883464$$
$$x_{91} = 30.164052511112$$
$$x_{92} = 80.43130615057$$
$$x_{93} = -43.9801316282738$$
$$x_{94} = -71.6226380326738$$
$$x_{95} = 82.3136390871251$$
$$x_{96} = 33.9224842575688$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{25 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -21$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{25 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -21$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[99.8972379485083, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -98.0217342173331\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(x) + sin(5*x))/((2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 x} \left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 x} \left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 x} \left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 x} \left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x} = - \frac{- \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(5 x \right)}}{2 x}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x} = \frac{- \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(5 x \right)}}{2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x} = - \frac{- \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(5 x \right)}}{2 x}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{2 x} = \frac{- \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(5 x \right)}}{2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar