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Trazado el gráfico de la función/ x^2*atan(sqrt(x^2-1))-(sqrt(x^2-1))

Gráfico de la función y = x^2*atan(sqrt(x^2-1))-(sqrt(x^2-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /   ________\      ________
        2     |  /  2     |     /  2     
f(x) = x *atan\\/  x  - 1 / - \/  x  - 1
f(x)=x2atan⁡(x2−1)−x2−1f{\left(x \right)} = x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} - \sqrt{x^{2} - 1} 
f = x^2*atan(sqrt(x^2 - 1)) - sqrt(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2atan⁡(x2−1)−x2−1=0x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} - \sqrt{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.00000000564063x_{1} = 1.00000000564063
x2=−1.000000006804x_{2} = -1.000000006804
x3=1.00000000322632x_{3} = 1.00000000322632
x4=−1.00000000418644x_{4} = -1.00000000418644
x5=1.0000000043717x_{5} = 1.0000000043717
x6=−1.00000000543684x_{6} = -1.00000000543684
x7=1.00000000015922x_{7} = 1.00000000015922
x8=−1.00000000123106x_{8} = -1.00000000123106
x9=−1.00000000306099x_{9} = -1.00000000306099
x10=−1.00000000207105x_{10} = -1.00000000207105
x11=1.00000000221462x_{11} = 1.00000000221462
x12=1.0000000006535x_{12} = 1.0000000006535
x13=1.00000000702521x_{13} = 1.00000000702521
x14=1.00000000135027x_{14} = 1.00000000135027
x15=−1.00000000056275x_{15} = -1.00000000056275
x16=−1.0000000001052x_{16} = -1.0000000001052
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*atan(sqrt(x^2 - 1)) - sqrt(x^2 - 1).
02atan⁡(−1+02)−−1+020^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 0^{2}} \right)} - \sqrt{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xatan⁡(x2−1)=02 x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(atan⁡(x2−1)+1x2−1)=02 \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2atan⁡(x2−1)−x2−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} - \sqrt{x^{2} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2atan⁡(x2−1)−x2−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} - \sqrt{x^{2} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*atan(sqrt(x^2 - 1)) - sqrt(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2atan⁡(x2−1)−x2−1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} - \sqrt{x^{2} - 1}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2atan⁡(x2−1)−x2−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} - \sqrt{x^{2} - 1}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2atan⁡(x2−1)−x2−1=x2atan⁡(x2−1)−x2−1x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} - \sqrt{x^{2} - 1} = x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} - \sqrt{x^{2} - 1}
- Sí
x2atan⁡(x2−1)−x2−1=−x2atan⁡(x2−1)+x2−1x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} - \sqrt{x^{2} - 1} = - x^{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} + \sqrt{x^{2} - 1}
- No
es decir, función
es
par
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