Sr Examen

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3*sin(x)+3*cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ 3*sin(x)+3*cos(x)

Gráfico de la función y = 3*sin(x)+3*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*sin(x) + 3*cos(x)
f(x)=3sin⁡(x)+3cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} 
f = 3*sin(x) + 3*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)+3cos⁡(x)=03 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=21.2057504117311x_{1} = 21.2057504117311
x2=68.329640215578x_{2} = 68.329640215578
x3=84.037603483527x_{3} = 84.037603483527
x4=62.0464549083984x_{4} = 62.0464549083984
x5=−63.6172512351933x_{5} = -63.6172512351933
x6=−73.0420291959627x_{6} = -73.0420291959627
x7=−35.3429173528852x_{7} = -35.3429173528852
x8=−98.174770424681x_{8} = -98.174770424681
x9=−38.484510006475x_{9} = -38.484510006475
x10=−91.8915851175014x_{10} = -91.8915851175014
x11=8.63937979737193x_{11} = 8.63937979737193
x12=74.6128255227576x_{12} = 74.6128255227576
x13=−51.0508806208341x_{13} = -51.0508806208341
x14=−10.2101761241668x_{14} = -10.2101761241668
x15=58.9048622548086x_{15} = 58.9048622548086
x16=5.49778714378214x_{16} = 5.49778714378214
x17=80.8960108299372x_{17} = 80.8960108299372
x18=−0.785398163397448x_{18} = -0.785398163397448
x19=−54.1924732744239x_{19} = -54.1924732744239
x20=−85.6083998103219x_{20} = -85.6083998103219
x21=18.0641577581413x_{21} = 18.0641577581413
x22=93.4623814442964x_{22} = 93.4623814442964
x23=−13.3517687777566x_{23} = -13.3517687777566
x24=−47.9092879672443x_{24} = -47.9092879672443
x25=55.7632696012188x_{25} = 55.7632696012188
x26=46.3384916404494x_{26} = 46.3384916404494
x27=40.0553063332699x_{27} = 40.0553063332699
x28=−79.3252145031423x_{28} = -79.3252145031423
x29=33.7721210260903x_{29} = 33.7721210260903
x30=−16.4933614313464x_{30} = -16.4933614313464
x31=11.7809724509617x_{31} = 11.7809724509617
x32=−66.7588438887831x_{32} = -66.7588438887831
x33=−57.3340659280137x_{33} = -57.3340659280137
x34=49.4800842940392x_{34} = 49.4800842940392
x35=65.1880475619882x_{35} = 65.1880475619882
x36=71.4712328691678x_{36} = 71.4712328691678
x37=96.6039740978861x_{37} = 96.6039740978861
x38=−41.6261026600648x_{38} = -41.6261026600648
x39=−16007.1999682034x_{39} = -16007.1999682034
x40=−29.0597320457056x_{40} = -29.0597320457056
x41=−44.7676953136546x_{41} = -44.7676953136546
x42=−22.776546738526x_{42} = -22.776546738526
x43=−69.9004365423729x_{43} = -69.9004365423729
x44=52.621676947629x_{44} = 52.621676947629
x45=−76.1836218495525x_{45} = -76.1836218495525
x46=−25.9181393921158x_{46} = -25.9181393921158
x47=36.9137136796801x_{47} = 36.9137136796801
x48=344.78979373148x_{48} = 344.78979373148
x49=30.6305283725005x_{49} = 30.6305283725005
x50=14.9225651045515x_{50} = 14.9225651045515
x51=−19.6349540849362x_{51} = -19.6349540849362
x52=99.7455667514759x_{52} = 99.7455667514759
x53=2.35619449019234x_{53} = 2.35619449019234
x54=87.1791961371168x_{54} = 87.1791961371168
x55=−107.59954838545x_{55} = -107.59954838545
x56=−82.4668071567321x_{56} = -82.4668071567321
x57=−60.4756585816035x_{57} = -60.4756585816035
x58=−3.92699081698724x_{58} = -3.92699081698724
x59=−88.7499924639117x_{59} = -88.7499924639117
x60=−1694.1038384483x_{60} = -1694.1038384483
x61=−32.2013246992954x_{61} = -32.2013246992954
x62=43.1968989868597x_{62} = 43.1968989868597
x63=90.3207887907066x_{63} = 90.3207887907066
x64=−95.0331777710912x_{64} = -95.0331777710912
x65=77.7544181763474x_{65} = 77.7544181763474
x66=27.4889357189107x_{66} = 27.4889357189107
x67=−7.06858347057703x_{67} = -7.06858347057703
x68=24.3473430653209x_{68} = 24.3473430653209
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*sin(x) + 3*cos(x).
3sin⁡(0)+3cos⁡(0)3 \sin{\left(0 \right)} + 3 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0- 3 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi      ___ 
(--, 3*\/ 2 )
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3(sin⁡(x)+cos⁡(x))=0- 3 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+3cos⁡(x))=⟨−6,6⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -6, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−6,6⟩y = \left\langle -6, 6\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+3cos⁡(x))=⟨−6,6⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -6, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−6,6⟩y = \left\langle -6, 6\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*sin(x) + 3*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)+3cos⁡(x)=−3sin⁡(x)+3cos⁡(x)3 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = - 3 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
- No
3sin⁡(x)+3cos⁡(x)=3sin⁡(x)−3cos⁡(x)3 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*sin(x)+3*cos(x)
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