Sr Examen

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Gráfico de la función y = (-sin(-1+cos(x)))/sin(x)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       -sin(-1 + cos(x)) 
f(x) = ------------------
               2         
            sin (x)      
f(x)=(1)sin(cos(x)1)sin2(x)f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
f = (-sin(cos(x) - 1))/sin(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(1)sin(cos(x)1)sin2(x)=0\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-sin(-1 + cos(x)))/sin(x)^2.
(1)sin(1+cos(0))sin2(0)\frac{\left(-1\right) \sin{\left(-1 + \cos{\left(0 \right)} \right)}}{\sin^{2}{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin(x)cos(cos(x)1)sin2(x)+2sin(cos(x)1)cos(x)sin3(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1+3cos2(x)sin2(x))sin(cos(x)1)+sin2(x)sin(cos(x)1)3cos(x)cos(cos(x)1)sin2(x)=0\frac{- 2 \left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=limx((1)sin(cos(x)1)sin2(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=limx((1)sin(cos(x)1)sin2(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-sin(-1 + cos(x)))/sin(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlimx(sin(cos(x)1)xsin2(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlimx(sin(cos(x)1)xsin2(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(1)sin(cos(x)1)sin2(x)=(1)sin(cos(x)1)sin2(x)\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\left(-1\right) \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
- Sí
(1)sin(cos(x)1)sin2(x)=(1)sin(cos(x)1)sin2(x)\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\left(-1\right) \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
es
par