Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/arccos(x)

Gráfico de la función y = 1/arccos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1   
f(x) = -------
       acos(x)
f(x)=1acos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} 
f = 1/acos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1acos⁡(x)=0\frac{1}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/acos(x).
1acos⁡(0)\frac{1}{\operatorname{acos}{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=2πf{\left(0 \right)} = \frac{2}{\pi}
Punto:
(0, 2/pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
11−x2acos⁡2(x)=0\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(1−x2)32−2(x2−1)acos⁡(x)acos⁡2(x)=0\frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{\left(x^{2} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}}{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=153325.595191053x_{1} = 153325.595191053
x2=191651.386619887x_{2} = 191651.386619887
x3=162845.383146861x_{3} = 162845.383146861
x4=201328.250696579x_{4} = 201328.250696579
x5=83637.269391272x_{5} = 83637.269391272
x6=167621.446635196x_{6} = 167621.446635196
x7=−0.657980204485479x_{7} = -0.657980204485479
x8=125051.591613812x_{8} = 125051.591613812
x9=158079.988700264x_{9} = 158079.988700264
x10=211039.395053895x_{10} = 211039.395053895
x11=220783.184986651x_{11} = 220783.184986651
x12=111097.357417232x_{12} = 111097.357417232
x13=101872.549686216x_{13} = 101872.549686216
x14=143851.239799596x_{14} = 143851.239799596
x15=97285.6604653062x_{15} = 97285.6604653062
x16=92716.8643017569x_{16} = 92716.8643017569
x17=139132.048543184x_{17} = 139132.048543184
x18=88167.0685297683x_{18} = 88167.0685297683
x19=196485.42544126x_{19} = 196485.42544126
x20=177204.343135081x_{20} = 177204.343135081
x21=148582.554402452x_{21} = 148582.554402452
x22=182010.598167553x_{22} = 182010.598167553
x23=106476.702396114x_{23} = 106476.702396114
x24=215907.305793937x_{24} = 215907.305793937
x25=134425.403756681x_{25} = 134425.403756681
x26=186826.363825781x_{26} = 186826.363825781
x27=120385.425147636x_{27} = 120385.425147636
x28=172407.865553312x_{28} = 172407.865553312
x29=206179.643519847x_{29} = 206179.643519847
x30=115733.8140194x_{30} = 115733.8140194
x31=129731.757087895x_{31} = 129731.757087895
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(x(1−x2)32−2(x2−1)acos⁡(x)acos⁡2(x))=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{\left(x^{2} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}}{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(x(1−x2)32−2(x2−1)acos⁡(x)acos⁡2(x))=−∞i\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{\left(x^{2} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}}{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−0.657980204485479,∞)\left[-0.657980204485479, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−0.657980204485479]\left(-\infty, -0.657980204485479\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1acos⁡(x)=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1acos⁡(x)=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/acos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xacos⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{acos}{\left(x \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1xacos⁡(x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{acos}{\left(x \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1acos⁡(x)=1acos⁡(−x)\frac{1}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} = \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(- x \right)}}
- No
1acos⁡(x)=−1acos⁡(−x)\frac{1}{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(- x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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