Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(1/x)/x^2

Gráfico de la función y = exp(1/x)/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        1
        -
        x
       e 
f(x) = --
        2
       x
f(x)=e1xx2f{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} 
f = exp(1/x)/x^2
Gráfico de la función
0-80-60-40-2020406080-10010002e45
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e1xx2=0\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(1/x)/x^2.
e1002\frac{e^{\frac{1}{0}}}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−e1xx2x2−2e1xx3=0- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} x^{2}} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
          -2 
(-1/2, 4*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(6+2+1xx+4x)e1xx4=0\frac{\left(6 + \frac{2 + \frac{1}{x}}{x} + \frac{4}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12−36x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}
x2=−12+36x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((6+2+1xx+4x)e1xx4)=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(6 + \frac{2 + \frac{1}{x}}{x} + \frac{4}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}\right) = 0
lim⁡x→0+((6+2+1xx+4x)e1xx4)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(6 + \frac{2 + \frac{1}{x}}{x} + \frac{4}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−12−36]∪[−12+36,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−12−36,−12+36]\left[- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e1xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(e1xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(1/x)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e1xxx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e1xxx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e1xx2=e−1xx2\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}
- No
e1xx2=−e−1xx2\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = - \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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