Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x×sqrt(4-x)

Gráfico de la función y = x×sqrt(4-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _______
f(x) = x*\/ 4 - x
f(x)=x4−xf{\left(x \right)} = x \sqrt{4 - x} 
f = x*sqrt(4 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x4−x=0x \sqrt{4 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=4x_{2} = 4
Solución numérica
x1=4x_{1} = 4
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*sqrt(4 - x).
04−00 \sqrt{4 - 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x24−x+4−x=0- \frac{x}{2 \sqrt{4 - x}} + \sqrt{4 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=83x_{1} = \frac{8}{3}
Signos de extremos en los puntos:
           ___ 
      16*\/ 3  
(8/3, --------)
         9


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=83x_{1} = \frac{8}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,83]\left(-\infty, \frac{8}{3}\right]
Crece en los intervalos
[83,∞)\left[\frac{8}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x4(4−x)+14−x=0- \frac{\frac{x}{4 \left(4 - x\right)} + 1}{\sqrt{4 - x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=163x_{1} = \frac{16}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x4−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{4 - x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x4−x)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{4 - x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sqrt(4 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞4−x=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt{4 - x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞4−x=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{4 - x} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x4−x=−xx+4x \sqrt{4 - x} = - x \sqrt{x + 4}
- No
x4−x=xx+4x \sqrt{4 - x} = x \sqrt{x + 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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