Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt(-1-x^2-sqrt(1+x^4+2*x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           ______________________________
          /              _______________ 
         /        2     /      4      2  
f(x) = \/   -1 - x  - \/  1 + x  + 2*x   
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}}$$
f = sqrt(-x^2 - 1 - sqrt(2*x^2 + x^4 + 1))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(-1 - x^2 - sqrt(1 + x^4 + 2*x^2)).
$$\sqrt{\left(-1 - 0^{2}\right) - \sqrt{2 \cdot 0^{2} + \left(0^{4} + 1\right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \sqrt{2} i$$
Punto:
(0, i*sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- x - \frac{2 x^{3} + 2 x}{2 \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}}}{\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{i \left(- \frac{2 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{2} \left(\frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x^{4} + 2 x^{2} + 1}} + 1\right)^{2}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 2 x^{2} + 1} + 1} + \frac{3 x^{2} + 1}{\sqrt{x^{4} + 2 x^{2} + 1}} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 2 x^{2} + 1} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-1 - x^2 - sqrt(1 + x^4 + 2*x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}}}{x}\right) = - \sqrt{2} i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \sqrt{2} i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}}}{x}\right) = \sqrt{2} i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \sqrt{2} i x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}} = \sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}}$$
- Sí
$$\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}} = - \sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - \sqrt{2 x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)}}$$
- No
es decir, función
es
par