Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
4*x*log(x)/(1-log(x^2))
-
(4x^3)/((x^3)-1)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x/(x^ dos - uno))
- raíz cuadrada de (x dividir por (x al cuadrado menos 1))
- raíz cuadrada de (x dividir por (x en el grado dos menos uno))
- √(x/(x^2-1))
- sqrt(x/(x2-1))
- sqrtx/x2-1
- sqrt(x/(x²-1))
- sqrt(x/(x en el grado 2-1))
- sqrtx/x^2-1
- sqrt(x dividir por (x^2-1))
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x/(x^2+1))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(ctg(cosx))
- sqrt(-1-x)
- sqrt(3)*x/2+cos(x)
- sqrt(x)2-2x
- sqrt(x-2)^(2/3)-sqrt(x-3)^(2/3)
Gráfico de la función y = sqrt(x/(x^2-1))
Solución
Ha introducido
[src]
________
/ x
f(x) = / ------
/ 2
\/ x - 1
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}}$$
f = sqrt(x/(x^2 - 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(x^{2} - 1\right) \left(- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x^{2} - 1\right)}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(x^{2} - 1\right) \left(- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x^{2} - 1\right)}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right)\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right)\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt{- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right)\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right)\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} \left(- \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3}{x^{2} - 1} + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{4 x^{2}} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{2 x^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt{- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x/(x^2 - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = \sqrt{- \frac{x}{x^{2} - 1}}$$
- No
$$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = - \sqrt{- \frac{x}{x^{2} - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = \sqrt{- \frac{x}{x^{2} - 1}}$$
- No
$$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} = - \sqrt{- \frac{x}{x^{2} - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar