Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1-exp(-(t^2)/119.62)

Gráfico de la función y = 1-exp(-(t^2)/119.62)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               2  
             -t   
            ------
            /5981\
            |----|
            \ 50 /
f(t) = 1 - e
f(t)=1−e(−1)t2598150f{\left(t \right)} = 1 - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}} 
f = 1 - exp((-t^2)/(5981/50))
Gráfico de la función
0246820101214161801
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−e(−1)t2598150=01 - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=0t_{1} = 0
Solución numérica
t1=0t_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en 1 - exp((-t^2)/(5981/50)).
1−e(−1)025981501 - e^{\frac{\left(-1\right) 0^{2}}{\frac{5981}{50}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
100te(−1)t25981505981=0\frac{100 t e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}}}{5981} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
t1=0t_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
100(5981−100t2)e−50t2598135772361=0\frac{100 \left(5981 - 100 t^{2}\right) e^{- \frac{50 t^{2}}{5981}}}{35772361} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=−598110t_{1} = - \frac{\sqrt{5981}}{10}
t2=598110t_{2} = \frac{\sqrt{5981}}{10}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−598110,598110]\left[- \frac{\sqrt{5981}}{10}, \frac{\sqrt{5981}}{10}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−598110]∪[598110,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5981}}{10}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5981}}{10}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞(1−e(−1)t2598150)=1\lim_{t \to -\infty}\left(1 - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡t→∞(1−e(−1)t2598150)=1\lim_{t \to \infty}\left(1 - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - exp((-t^2)/(5981/50)), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(1−e(−1)t2598150t)=0\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{1 - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡t→∞(1−e(−1)t2598150t)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{1 - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
1−e(−1)t2598150=1−e(−1)t25981501 - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}} = 1 - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}}
- Sí
1−e(−1)t2598150=e(−1)t2598150−11 - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}} = e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{\frac{5981}{50}}} - 1
- No
es decir, función
es
par
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