Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2x-3*x^(2/3)
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
2x^3+9x^2+12x
-
Expresiones idénticas
- sin(tres *x)*cos(dos *x)+cos(tres *x)*sin(dos *x)
- seno de (3 multiplicar por x) multiplicar por coseno de (2 multiplicar por x) más coseno de (3 multiplicar por x) multiplicar por seno de (2 multiplicar por x)
- seno de (tres multiplicar por x) multiplicar por coseno de (dos multiplicar por x) más coseno de (tres multiplicar por x) multiplicar por seno de (dos multiplicar por x)
- sin(3x)cos(2x)+cos(3x)sin(2x)
- sin3xcos2x+cos3xsin2x
-
Expresiones semejantes
- sin(3*x)*cos(2*x)-cos(3*x)*sin(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin^2(t/2)
- sin(2)^(2)*x*cos(x)/2
- sin(2*x)^2+cos(x)-cos(2*x)
- sin(6*x)*cos(5*x)
- sin(3x)/(1-2*sin(pi/6-2*x))
- Seno sin
- sin^2(t/2)
- sin(2)^(2)*x*cos(x)/2
- sin(2*x)^2+cos(x)-cos(2*x)
- sin(6*x)*cos(5*x)
- sin(3x)/(1-2*sin(pi/6-2*x))
Gráfico de la función y = sin(3*x)*cos(2*x)+cos(3*x)*sin(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = sin(3*x)*cos(2*x) + cos(3*x)*sin(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
f = sin(2*x)*cos(3*x) + sin(3*x)*cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{9 \pi}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{4} = - \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{5} = - \pi$$
$$x_{6} = - \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{7} = - \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{8} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{9} = \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{11} = \pi$$
$$x_{12} = \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{13} = \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{14} = 2 \pi$$
$$x_{15} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{16} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{17} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{18} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{19} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{20} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -42.0973415581032$$
$$x_{2} = 45.867252742411$$
$$x_{3} = -15.707963267949$$
$$x_{4} = -57.8053048260522$$
$$x_{5} = 55.9203492338983$$
$$x_{6} = 8.16814089933346$$
$$x_{7} = 26.3893782901543$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = 0$$
$$x_{10} = -21.9911485751286$$
$$x_{11} = -64.0884901332318$$
$$x_{12} = 28.2743338823081$$
$$x_{13} = 48.3805268652828$$
$$x_{14} = -93.6194610769758$$
$$x_{15} = 72.2566310325652$$
$$x_{16} = -35.8141562509236$$
$$x_{17} = -47.7522083345649$$
$$x_{18} = -3.76991118430775$$
$$x_{19} = -76.026542216873$$
$$x_{20} = 87.9645943005142$$
$$x_{21} = -43.9822971502571$$
$$x_{22} = 50.2654824574367$$
$$x_{23} = -74.1415866247191$$
$$x_{24} = 16.3362817986669$$
$$x_{25} = 189.752196276824$$
$$x_{26} = -89.8495498926681$$
$$x_{27} = 52.1504380495906$$
$$x_{28} = 18.2212373908208$$
$$x_{29} = -98.0176907920015$$
$$x_{30} = -81.6814089933346$$
$$x_{31} = -77.9114978090269$$
$$x_{32} = 94.2477796076938$$
$$x_{33} = 38.3274303737955$$
$$x_{34} = -91.734505484822$$
$$x_{35} = -20.1061929829747$$
$$x_{36} = -32.0442450666159$$
$$x_{37} = 67.8584013175395$$
$$x_{38} = 30.159289474462$$
$$x_{39} = -13.8230076757951$$
$$x_{40} = -10.0530964914873$$
$$x_{41} = 42.0973415581032$$
$$x_{42} = -33.9292006587698$$
$$x_{43} = -79.7964534011807$$
$$x_{44} = -23.8761041672824$$
$$x_{45} = 65.9734457253857$$
$$x_{46} = 101.159283445591$$
$$x_{47} = 98.0176907920015$$
$$x_{48} = 70.3716754404114$$
$$x_{49} = 20.1061929829747$$
$$x_{50} = -54.0353936417444$$
$$x_{51} = 62.2035345410779$$
$$x_{52} = 32.0442450666159$$
$$x_{53} = 54.0353936417444$$
$$x_{54} = -87.9645943005142$$
$$x_{55} = 77.9114978090269$$
$$x_{56} = 5.02654824574367$$
$$x_{57} = -27.6460153515902$$
$$x_{58} = 99.9026463841554$$
$$x_{59} = 60.318578948924$$
$$x_{60} = 11.3097335529233$$
$$x_{61} = 64.0884901332318$$
$$x_{62} = 11.9380520836412$$
$$x_{63} = -11.9380520836412$$
$$x_{64} = -65.9734457253857$$
$$x_{65} = 92.3628240155399$$
$$x_{66} = 43.9822971502571$$
$$x_{67} = 84.1946831162065$$
$$x_{68} = -49.6371639267187$$
$$x_{69} = -37.6991118430775$$
$$x_{70} = -59.6902604182061$$
$$x_{71} = 33.9292006587698$$
$$x_{72} = 86.0796387083603$$
$$x_{73} = 40.2123859659494$$
$$x_{74} = -96.1327351998477$$
$$x_{75} = 82.3097275240526$$
$$x_{76} = -5.65486677646163$$
$$x_{77} = 89.2212313619501$$
$$x_{78} = 76.026542216873$$
$$x_{79} = -71.6283125018473$$
$$x_{80} = -55.9203492338983$$
$$x_{81} = 6.28318530717959$$
$$x_{82} = -45.867252742411$$
$$x_{83} = -69.7433569096934$$
$$x_{84} = -1.88495559215388$$
$$x_{85} = 74.1415866247191$$
$$x_{86} = 10.0530964914873$$
$$x_{87} = 1.88495559215388$$
$$x_{88} = 23.8761041672824$$
$$x_{89} = -25.7610597594363$$
$$x_{90} = 5.65486677646163$$
$$x_{91} = -99.9026463841554$$
$$x_{92} = -86.0796387083603$$
$$x_{93} = -67.8584013175395$$
$$x_{94} = -52.7787565803085$$
$$x_{95} = 96.1327351998477$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{9 \pi}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{4} = - \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{5} = - \pi$$
$$x_{6} = - \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{7} = - \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{8} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{9} = \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{11} = \pi$$
$$x_{12} = \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{13} = \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{14} = 2 \pi$$
$$x_{15} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{16} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{17} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{18} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{19} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{20} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -42.0973415581032$$
$$x_{2} = 45.867252742411$$
$$x_{3} = -15.707963267949$$
$$x_{4} = -57.8053048260522$$
$$x_{5} = 55.9203492338983$$
$$x_{6} = 8.16814089933346$$
$$x_{7} = 26.3893782901543$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = 0$$
$$x_{10} = -21.9911485751286$$
$$x_{11} = -64.0884901332318$$
$$x_{12} = 28.2743338823081$$
$$x_{13} = 48.3805268652828$$
$$x_{14} = -93.6194610769758$$
$$x_{15} = 72.2566310325652$$
$$x_{16} = -35.8141562509236$$
$$x_{17} = -47.7522083345649$$
$$x_{18} = -3.76991118430775$$
$$x_{19} = -76.026542216873$$
$$x_{20} = 87.9645943005142$$
$$x_{21} = -43.9822971502571$$
$$x_{22} = 50.2654824574367$$
$$x_{23} = -74.1415866247191$$
$$x_{24} = 16.3362817986669$$
$$x_{25} = 189.752196276824$$
$$x_{26} = -89.8495498926681$$
$$x_{27} = 52.1504380495906$$
$$x_{28} = 18.2212373908208$$
$$x_{29} = -98.0176907920015$$
$$x_{30} = -81.6814089933346$$
$$x_{31} = -77.9114978090269$$
$$x_{32} = 94.2477796076938$$
$$x_{33} = 38.3274303737955$$
$$x_{34} = -91.734505484822$$
$$x_{35} = -20.1061929829747$$
$$x_{36} = -32.0442450666159$$
$$x_{37} = 67.8584013175395$$
$$x_{38} = 30.159289474462$$
$$x_{39} = -13.8230076757951$$
$$x_{40} = -10.0530964914873$$
$$x_{41} = 42.0973415581032$$
$$x_{42} = -33.9292006587698$$
$$x_{43} = -79.7964534011807$$
$$x_{44} = -23.8761041672824$$
$$x_{45} = 65.9734457253857$$
$$x_{46} = 101.159283445591$$
$$x_{47} = 98.0176907920015$$
$$x_{48} = 70.3716754404114$$
$$x_{49} = 20.1061929829747$$
$$x_{50} = -54.0353936417444$$
$$x_{51} = 62.2035345410779$$
$$x_{52} = 32.0442450666159$$
$$x_{53} = 54.0353936417444$$
$$x_{54} = -87.9645943005142$$
$$x_{55} = 77.9114978090269$$
$$x_{56} = 5.02654824574367$$
$$x_{57} = -27.6460153515902$$
$$x_{58} = 99.9026463841554$$
$$x_{59} = 60.318578948924$$
$$x_{60} = 11.3097335529233$$
$$x_{61} = 64.0884901332318$$
$$x_{62} = 11.9380520836412$$
$$x_{63} = -11.9380520836412$$
$$x_{64} = -65.9734457253857$$
$$x_{65} = 92.3628240155399$$
$$x_{66} = 43.9822971502571$$
$$x_{67} = 84.1946831162065$$
$$x_{68} = -49.6371639267187$$
$$x_{69} = -37.6991118430775$$
$$x_{70} = -59.6902604182061$$
$$x_{71} = 33.9292006587698$$
$$x_{72} = 86.0796387083603$$
$$x_{73} = 40.2123859659494$$
$$x_{74} = -96.1327351998477$$
$$x_{75} = 82.3097275240526$$
$$x_{76} = -5.65486677646163$$
$$x_{77} = 89.2212313619501$$
$$x_{78} = 76.026542216873$$
$$x_{79} = -71.6283125018473$$
$$x_{80} = -55.9203492338983$$
$$x_{81} = 6.28318530717959$$
$$x_{82} = -45.867252742411$$
$$x_{83} = -69.7433569096934$$
$$x_{84} = -1.88495559215388$$
$$x_{85} = 74.1415866247191$$
$$x_{86} = 10.0530964914873$$
$$x_{87} = 1.88495559215388$$
$$x_{88} = 23.8761041672824$$
$$x_{89} = -25.7610597594363$$
$$x_{90} = 5.65486677646163$$
$$x_{91} = -99.9026463841554$$
$$x_{92} = -86.0796387083603$$
$$x_{93} = -67.8584013175395$$
$$x_{94} = -52.7787565803085$$
$$x_{95} = 96.1327351998477$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 5 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + 5 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{9} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{10} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{4} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}$$
$$x_{5} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{5} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{- 2 \sqrt{5} - 2}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{5} = \operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi$$
$$x_{5} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{- 4 \sqrt{5} - 4}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 5 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + 5 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{9} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{10} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi (----, -1) 2
___ / ___\ / ___\ -pi 5 \/ 5 | 1 \/ 5 | |1 \/ 5 | (----, - - + ----- + |- - - -----|*|- + -----|) 10 8 8 \ 4 4 / \4 4 /
2
/ ___\ ___
pi 5 |1 \/ 5 | \/ 5
(--, - + |- + -----| - -----)
10 8 \4 4 / 8 pi (--, 1) 2
/ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\
| ___ / ___ ___ ____ / ___ | | | ___ / ___ ___ ____ / ___ || | | ___ / ___ ___ ____ / ___ || | | ___ / ___ ___ ____ / ___ || | | ___ / ___ ___ ____ / ___ ||
|I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 | | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 ||
(-I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------|, - cos|2*I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------||*sin|3*I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------|| - cos|3*I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------||*sin|2*I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------||)
\4 8 4 8 / \ \4 8 4 8 // \ \4 8 4 8 // \ \4 8 4 8 // \ \4 8 4 8 // / ___________ ___________\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\
| ___ ___ / ___ ____ / ___ | | | ___ ___ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ ||
| I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 | | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 ||
(-I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------|, - cos|2*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------||*sin|3*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------|| - cos|3*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------||*sin|2*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------||)
\ 4 4 8 8 / \ \ 4 4 8 8 // \ \ 4 4 8 8 // \ \ 4 4 8 8 // \ \ 4 4 8 8 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ | | | ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ || | | ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ || | | ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ || | | ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ ||
| I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 | | | I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | | I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | | I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | | I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------|, - cos|2*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------||*sin|3*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------|| - cos|3*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------||*sin|2*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------||)
\ 4 16 16 16 4 16 / \ \ 4 16 16 16 4 16 // \ \ 4 16 16 16 4 16 // \ \ 4 16 16 16 4 16 // \ \ 4 16 16 16 4 16 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ / ___ | | | ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ / ___ ||
|I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 | | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------|, - cos|2*I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------||*sin|3*I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------|| - cos|3*I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------||*sin|2*I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------||)
\4 4 16 16 16 16 / \ \4 4 16 16 16 16 // \ \4 4 16 16 16 16 // \ \4 4 16 16 16 16 // \ \4 4 16 16 16 16 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ___ ____ / ___ | | | ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ___ ____ / ___ || | | ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ___ ____ / ___ || | | ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ___ ____ / ___ || | | ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ___ ____ / ___ ||
|I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 | | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------|, - cos|2*I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------||*sin|3*I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------|| - cos|3*I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------||*sin|2*I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------||)
\4 16 16 16 4 16 / \ \4 16 16 16 4 16 // \ \4 16 16 16 4 16 // \ \4 16 16 16 4 16 // \ \4 16 16 16 4 16 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ | | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ||
| I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 | | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------|, - cos|2*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------||*sin|3*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------|| - cos|3*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------||*sin|2*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------||)
\ 4 4 16 16 16 16 / \ \ 4 4 16 16 16 16 // \ \ 4 4 16 16 16 16 // \ \ 4 4 16 16 16 16 // \ \ 4 4 16 16 16 16 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{4} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}$$
$$x_{5} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{5} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{- 2 \sqrt{5} - 2}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{5} = \operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi$$
$$x_{5} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{- 4 \sqrt{5} - 4}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 25 \left(\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{9 \pi}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{4} = - \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{5} = - \pi$$
$$x_{6} = - \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{7} = - \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{8} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{9} = \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{11} = \pi$$
$$x_{12} = \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{13} = \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{14} = 2 \pi$$
$$x_{15} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{16} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{17} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{18} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{19} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{20} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{9 \pi}{5}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 25 \left(\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{9 \pi}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{4} = - \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{5} = - \pi$$
$$x_{6} = - \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{7} = - \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{8} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{9} = \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{11} = \pi$$
$$x_{12} = \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{13} = \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{14} = 2 \pi$$
$$x_{15} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{16} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{17} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{18} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{19} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{20} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{9 \pi}{5}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(3*x)*cos(2*x) + cos(3*x)*sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar