Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x*sinh(log(x^4))

Gráfico de la función y = x*sinh(log(x^4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             /   / 4\\
f(x) = x*sinh\log\x //
$$f{\left(x \right)} = x \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)}$$ 
f = x*sinh(log(x^4))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = -1.00000000000004$$
$$x_{5} = 1.00000000000006$$
$$x_{6} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*sinh(log(x^4)).
$$0 \sinh{\left(\log{\left(0^{4} \right)} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)} + 4 \cosh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(4 \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)} + \cosh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[8]{3} \cdot 5^{\frac{7}{8}}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[8]{3} \cdot 5^{\frac{7}{8}}}{5}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[8]{3} \cdot 5^{\frac{7}{8}}}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[8]{3} \cdot 5^{\frac{7}{8}}}{5}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sinh(log(x^4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)} = - x \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)}$$
- No
$$x \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)} = x \sinh{\left(\log{\left(x^{4} \right)} \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
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