Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -x^3+2*sin(x)+3*cos(x)

Gráfico de la función y = -x^3+2*sin(x)+3*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3                      
f(x) = - x  + 2*sin(x) + 3*cos(x)
f(x)=(−x3+2sin⁡(x))+3cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(- x^{3} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \cos{\left(x \right)} 
f = -x^3 + 2*sin(x) + 3*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x3+2sin⁡(x))+3cos⁡(x)=0\left(- x^{3} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.368384416827x_{1} = 1.368384416827
x2=1.368384416827x_{2} = 1.368384416827
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^3 + 2*sin(x) + 3*cos(x).
(−03+2sin⁡(0))+3cos⁡(0)\left(- 0^{3} + 2 \sin{\left(0 \right)}\right) + 3 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2−3sin⁡(x)+2cos⁡(x)=0- 3 x^{2} - 3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.432052760425723x_{1} = 0.432052760425723
x2=−1.09296131261969x_{2} = -1.09296131261969
Signos de extremos en los puntos:
(0.43205276042572316, 3.48114481060077)

(-1.0929613126196942, 0.909200821311631)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1.09296131261969x_{1} = -1.09296131261969
Puntos máximos de la función:
x1=0.432052760425723x_{1} = 0.432052760425723
Decrece en los intervalos
[−1.09296131261969,0.432052760425723]\left[-1.09296131261969, 0.432052760425723\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−1.09296131261969]∪[0.432052760425723,∞)\left(-\infty, -1.09296131261969\right] \cup \left[0.432052760425723, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(6x+2sin⁡(x)+3cos⁡(x))=0- (6 x + 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.353627139153684x_{1} = -0.353627139153684

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−0.353627139153684]\left(-\infty, -0.353627139153684\right]
Convexa en los intervalos
[−0.353627139153684,∞)\left[-0.353627139153684, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x3+2sin⁡(x))+3cos⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{3} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \cos{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x3+2sin⁡(x))+3cos⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{3} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \cos{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3 + 2*sin(x) + 3*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x3+2sin⁡(x))+3cos⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{3} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x3+2sin⁡(x))+3cos⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{3} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x3+2sin⁡(x))+3cos⁡(x)=x3−2sin⁡(x)+3cos⁡(x)\left(- x^{3} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \cos{\left(x \right)} = x^{3} - 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
- No
(−x3+2sin⁡(x))+3cos⁡(x)=−x3+2sin⁡(x)−3cos⁡(x)\left(- x^{3} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \cos{\left(x \right)} = - x^{3} + 2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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