Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(sqrt((x-1)/(x+1)))

Gráfico de la función y = cos(sqrt((x-1)/(x+1)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    _______\
          |   / x - 1 |
f(x) = cos|  /  ----- |
          \\/   x + 1 /
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \right)}$$ 
f = cos(sqrt((x - 1)/(x + 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{4 + 9 \pi^{2}}{4 - 9 \pi^{2}}$$
$$x_{2} = \frac{4 + \pi^{2}}{4 - \pi^{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.09431021786131$$
$$x_{2} = -2.36295386423577$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(sqrt((x - 1)/(x + 1))).
$$\cos{\left(\sqrt{- 1^{-1}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \cosh{\left(1 \right)}$$
Punto:
(0, cosh(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x - 1}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right) \sin{\left(\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \right)}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1 + \pi^{2}}{1 - \pi^{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
             /                            _____________\ 
       2     |        _____________      /           2 | 
 1 + pi      |       /     -1           /      1 + pi  | 
(-------, cos|      /  ----------- *   /   1 - ------- |)
       2     |     /             2    /              2 | 
 1 - pi      |    /        1 + pi   \/         1 - pi  | 
             |   /     1 + -------                     | 
             |  /                2                     | 
             \\/           1 - pi                      /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1 + \pi^{2}}{1 - \pi^{2}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1 + \pi^{2}}{1 - \pi^{2}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1 + \pi^{2}}{1 - \pi^{2}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \right)} = \cos{\left(1 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \cos{\left(1 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \right)} = \cos{\left(1 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \cos{\left(1 \right)}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \right)} = \cos{\left(\sqrt{\frac{- x - 1}{1 - x}} \right)}$$
- No
$$\cos{\left(\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \right)} = - \cos{\left(\sqrt{\frac{- x - 1}{1 - x}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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