Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$e^{x} \log{\left(x \right)} \cos{\left(e^{x} + 1 \right)} + \frac{\sin{\left(e^{x} + 1 \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1.94090744254185$$
$$x_{2} = 4.70526689933563$$
$$x_{3} = 4.33035292530932$$
$$x_{4} = 10.0261746823801$$
Signos de extremos en los puntos:
(1.9409074425418542, 0.659068056512754)
(4.705266899335627, -1.54868130447218)
(4.3303529253093185, 1.46564589362698)
(10.026174682380066, -2.30519914162368)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4.70526689933563$$
$$x_{2} = 10.0261746823801$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 1.94090744254185$$
$$x_{2} = 4.33035292530932$$
Decrece en los intervalos
$$\left[10.0261746823801, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[4.33035292530932, 4.70526689933563\right]$$