Sr Examen

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3*sin(x)+cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ 3*sin(x)+cos(x)

Gráfico de la función y = 3*sin(x)+cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*sin(x) + cos(x)
f(x)=3sin⁡(x)+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} 
f = 3*sin(x) + cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)+cos⁡(x)=03 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(13)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}
Solución numérica
x1=−44.3040477046537x_{1} = -44.3040477046537
x2=−19305.4086068637x_{2} = -19305.4086068637
x3=81.359658438938x_{3} = 81.359658438938
x4=−100.85271546927x_{4} = -100.85271546927
x5=100.209214360477x_{5} = 100.209214360477
x6=−22.3128991295252x_{6} = -22.3128991295252
x7=−25.454491783115x_{7} = -25.454491783115
x8=31.0941759815013x_{8} = 31.0941759815013
x9=24.8109906743217x_{9} = 24.8109906743217
x10=−85.1447522013211x_{10} = -85.1447522013211
x11=9.10302740637274x_{11} = 9.10302740637274
x12=18.5278053671421x_{12} = 18.5278053671421
x13=−34.8792697438844x_{13} = -34.8792697438844
x14=−97.7111228156802x_{14} = -97.7111228156802
x15=75.0764731317584x_{15} = 75.0764731317584
x16=−38.0208623974742x_{16} = -38.0208623974742
x17=43.6605465958605x_{17} = 43.6605465958605
x18=−12.8881211687558x_{18} = -12.8881211687558
x19=−60.0120109726027x_{19} = -60.0120109726027
x20=−66.2951962797823x_{20} = -66.2951962797823
x21=71.9348804781686x_{21} = 71.9348804781686
x22=56.2269172102196x_{22} = 56.2269172102196
x23=21.6693980207319x_{23} = 21.6693980207319
x24=−94.5695301620904x_{24} = -94.5695301620904
x25=−0.321750554396642x_{25} = -0.321750554396642
x26=−2177.44545949212x_{26} = -2177.44545949212
x27=59.3685098638094x_{27} = 59.3685098638094
x28=−6.60493586157623x_{28} = -6.60493586157623
x29=12.2446200599625x_{29} = 12.2446200599625
x30=37.3773612886809x_{30} = 37.3773612886809
x31=34.2357686350911x_{31} = 34.2357686350911
x32=65.651695170989x_{32} = 65.651695170989
x33=−546.958872279021x_{33} = -546.958872279021
x34=−82.0031595477313x_{34} = -82.0031595477313
x35=−69.4367889333721x_{35} = -69.4367889333721
x36=15.3862127135523x_{36} = 15.3862127135523
x37=−47.4456403582435x_{37} = -47.4456403582435
x38=−9.74652851516602x_{38} = -9.74652851516602
x39=−78.8615668941415x_{39} = -78.8615668941415
x40=−3.46334320798644x_{40} = -3.46334320798644
x41=−53.7288256654231x_{41} = -53.7288256654231
x42=5.96143475278294x_{42} = 5.96143475278294
x43=−88.2863448549109x_{43} = -88.2863448549109
x44=84.5012510925278x_{44} = 84.5012510925278
x45=−31.7376770902946x_{45} = -31.7376770902946
x46=−72.5783815869619x_{46} = -72.5783815869619
x47=46.8021392494503x_{47} = 46.8021392494503
x48=−28.5960844367048x_{48} = -28.5960844367048
x49=−19.1713064759354x_{49} = -19.1713064759354
x50=53.0853245566298x_{50} = 53.0853245566298
x51=90.7844363997074x_{51} = 90.7844363997074
x52=97.067621706887x_{52} = 97.067621706887
x53=−41.162455051064x_{53} = -41.162455051064
x54=93.9260290532972x_{54} = 93.9260290532972
x55=−75.7199742405517x_{55} = -75.7199742405517
x56=87.6428437461176x_{56} = 87.6428437461176
x57=−50.5872330118333x_{57} = -50.5872330118333
x58=78.2180657853482x_{58} = 78.2180657853482
x59=−91.4279375085006x_{59} = -91.4279375085006
x60=62.5101025173992x_{60} = 62.5101025173992
x61=2.81984209919315x_{61} = 2.81984209919315
x62=27.9525833279115x_{62} = 27.9525833279115
x63=49.9437319030401x_{63} = 49.9437319030401
x64=40.5189539422707x_{64} = 40.5189539422707
x65=−56.8704183190129x_{65} = -56.8704183190129
x66=−63.1536036261925x_{66} = -63.1536036261925
x67=68.7932878245788x_{67} = 68.7932878245788
x68=−16.0297138223456x_{68} = -16.0297138223456
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*sin(x) + cos(x).
3sin⁡(0)+cos⁡(0)3 \sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(3)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(3 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
            ____ 
(atan(3), \/ 10 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(3)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(3 \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(3)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(3 \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(3),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(3 \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(3sin⁡(x)+cos⁡(x))=0- (3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(13)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(13)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(13),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+cos⁡(x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+cos⁡(x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*sin(x) + cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)+cos⁡(x)=−3sin⁡(x)+cos⁡(x)3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
3sin⁡(x)+cos⁡(x)=3sin⁡(x)−cos⁡(x)3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*sin(x)+cos(x)
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