Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(3)sinx+cosx

Gráfico de la función y = sqrt(3)sinx+cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___                
f(x) = \/ 3 *sin(x) + cos(x)
f(x)=3sin⁡(x)+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} 
f = sqrt(3)*sin(x) + cos(x)
Gráfico de la función
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.005-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Solución numérica
x1=68.5914396033772x_{1} = 68.5914396033772
x2=−63.3554518473942x_{2} = -63.3554518473942
x3=46.6002910282486x_{3} = 46.6002910282486
x4=43.4586983746588x_{4} = 43.4586983746588
x5=84.2994028713261x_{5} = 84.2994028713261
x6=−101.054563690472x_{6} = -101.054563690472
x7=−31.9395253114962x_{7} = -31.9395253114962
x8=71.733032256967x_{8} = 71.733032256967
x9=12.0427718387609x_{9} = 12.0427718387609
x10=87.4409955249159x_{10} = 87.4409955249159
x11=81.1578102177363x_{11} = 81.1578102177363
x12=−9.94837673636768x_{12} = -9.94837673636768
x13=−53.9306738866248x_{13} = -53.9306738866248
x14=−57.0722665402146x_{14} = -57.0722665402146
x15=−47.6474885794452x_{15} = -47.6474885794452
x16=−19.3731546971371x_{16} = -19.3731546971371
x17=37.1755130674792x_{17} = 37.1755130674792
x18=−69.6386371545737x_{18} = -69.6386371545737
x19=−60.2138591938044x_{19} = -60.2138591938044
x20=−75.9218224617533x_{20} = -75.9218224617533
x21=5.75958653158129x_{21} = 5.75958653158129
x22=131.423292675173x_{22} = 131.423292675173
x23=65.4498469497874x_{23} = 65.4498469497874
x24=40.317105721069x_{24} = 40.317105721069
x25=−22.5147473507269x_{25} = -22.5147473507269
x26=56.025068989018x_{26} = 56.025068989018
x27=−94.7713783832921x_{27} = -94.7713783832921
x28=−914.727060970228x_{28} = -914.727060970228
x29=−88.4881930761125x_{29} = -88.4881930761125
x30=8.90117918517108x_{30} = 8.90117918517108
x31=100.007366139275x_{31} = 100.007366139275
x32=15.1843644923507x_{32} = 15.1843644923507
x33=−13.0899693899575x_{33} = -13.0899693899575
x34=49.7418836818384x_{34} = 49.7418836818384
x35=96.8657734856853x_{35} = 96.8657734856853
x36=−41.3643032722656x_{36} = -41.3643032722656
x37=−38.2227106186758x_{37} = -38.2227106186758
x38=−82.2050077689329x_{38} = -82.2050077689329
x39=24.60914245312x_{39} = 24.60914245312
x40=90.5825881785057x_{40} = 90.5825881785057
x41=−91.6297857297023x_{41} = -91.6297857297023
x42=−97.9129710368819x_{42} = -97.9129710368819
x43=78.0162175641465x_{43} = 78.0162175641465
x44=−35.081117965086x_{44} = -35.081117965086
x45=93.7241808320955x_{45} = 93.7241808320955
x46=−3.66519142918809x_{46} = -3.66519142918809
x47=−66.497044500984x_{47} = -66.497044500984
x48=−44.5058959258554x_{48} = -44.5058959258554
x49=2.61799387799149x_{49} = 2.61799387799149
x50=−79.0634151153431x_{50} = -79.0634151153431
x51=−0.523598775598299x_{51} = -0.523598775598299
x52=34.0339204138894x_{52} = 34.0339204138894
x53=−16.2315620435473x_{53} = -16.2315620435473
x54=−72.7802298081635x_{54} = -72.7802298081635
x55=18.3259571459405x_{55} = 18.3259571459405
x56=−25.6563400043166x_{56} = -25.6563400043166
x57=−50.789081233035x_{57} = -50.789081233035
x58=−28.7979326579064x_{58} = -28.7979326579064
x59=30.8923277602996x_{59} = 30.8923277602996
x60=27.7507351067098x_{60} = 27.7507351067098
x61=−6.80678408277789x_{61} = -6.80678408277789
x62=52.8834763354282x_{62} = 52.8834763354282
x63=21.4675497995303x_{63} = 21.4675497995303
x64=59.1666616426078x_{64} = 59.1666616426078
x65=62.3082542961976x_{65} = 62.3082542961976
x66=74.8746249105567x_{66} = 74.8746249105567
x67=−85.3466004225227x_{67} = -85.3466004225227
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(3)*sin(x) + cos(x).
3sin⁡(0)+cos⁡(0)\sqrt{3} \sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 2)
 3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,π3]\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right]
Crece en los intervalos
[π3,∞)\left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(3sin⁡(x)+cos⁡(x))=0- (\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π6]\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right]
Convexa en los intervalos
[−π6,∞)\left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3)*sin(x) + cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)+cos⁡(x)=−3sin⁡(x)+cos⁡(x)\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
3sin⁡(x)+cos⁡(x)=3sin⁡(x)−cos⁡(x)\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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