Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)*e^(3x-1)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
(e^(2-x))/(2-x)
-
(atan(x))^2
-
Expresiones idénticas
- (sin5xcos3x-sin3xcos5x)/|cosx|
- ( seno de 5x coseno de 3x menos seno de 3x coseno de 5x) dividir por módulo de coseno de x|
- sin5xcos3x-sin3xcos5x/|cosx|
- (sin5xcos3x-sin3xcos5x) dividir por |cosx|
-
Expresiones semejantes
- (sin5xcos3x+sin3xcos5x)/|cosx|
-
Expresiones con funciones
- Módulo |
- |4*x*x+x-2|+|x+4|-1
- |sin(x)/x|
- |1-sqrt(x-2)|
- |-sqrt(x)-1|
- |(|x+2|)^(-π)-3|
Gráfico de la función y = (sin5xcos3x-sin3xcos5x)/|cosx|
Solución
Ha introducido
[src]
sin(5*x)*cos(3*x) - sin(3*x)*cos(5*x)
f(x) = -------------------------------------
|cos(x)|
$$f{\left(x \right)} = \frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}$$
f = (-sin(3*x)*cos(5*x) + sin(5*x)*cos(3*x))/Abs(cos(x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 69.1150383789755$$
$$x_{2} = 65.9734457253857$$
$$x_{3} = -91.106186954104$$
$$x_{4} = 223.053078404875$$
$$x_{5} = -59.6902604182061$$
$$x_{6} = -358.141562509236$$
$$x_{7} = -21.9911485751286$$
$$x_{8} = 12.5663706143592$$
$$x_{9} = -69.1150383789755$$
$$x_{10} = -100.530964914873$$
$$x_{11} = 3.14159265358979$$
$$x_{12} = -3.14159265358979$$
$$x_{13} = -25.1327412287183$$
$$x_{14} = -116.238928182822$$
$$x_{15} = -53.4070751110265$$
$$x_{16} = -15.707963267949$$
$$x_{17} = -72.2566310325652$$
$$x_{18} = -295.309709437441$$
$$x_{19} = -81.6814089933346$$
$$x_{20} = -94.2477796076938$$
$$x_{21} = 18.8495559215388$$
$$x_{22} = -65.9734457253857$$
$$x_{23} = 94.2477796076938$$
$$x_{24} = 9.42477796076938$$
$$x_{25} = -40.8407044966673$$
$$x_{26} = 34.5575191894877$$
$$x_{27} = 0$$
$$x_{28} = 97.3893722612836$$
$$x_{29} = 53.4070751110265$$
$$x_{30} = -62.8318530717959$$
$$x_{31} = -182.212373908208$$
$$x_{32} = -28.2743338823081$$
$$x_{33} = -56.5486677646163$$
$$x_{34} = 59.6902604182061$$
$$x_{35} = 91.106186954104$$
$$x_{36} = 15.707963267949$$
$$x_{37} = -18.8495559215388$$
$$x_{38} = 6.28318530717959$$
$$x_{39} = 56.5486677646163$$
$$x_{40} = 87.9645943005142$$
$$x_{41} = 31.4159265358979$$
$$x_{42} = 25.1327412287183$$
$$x_{43} = 43.9822971502571$$
$$x_{44} = -47.1238898038469$$
$$x_{45} = -97.3893722612836$$
$$x_{46} = -50.2654824574367$$
$$x_{47} = -433.539786195391$$
$$x_{48} = 100.530964914873$$
$$x_{49} = 44921.6333536805$$
$$x_{50} = 81.6814089933346$$
$$x_{51} = -75.398223686155$$
$$x_{52} = 40.8407044966673$$
$$x_{53} = -9.42477796076938$$
$$x_{54} = 78.5398163397448$$
$$x_{55} = -6.28318530717959$$
$$x_{56} = 37.6991118430775$$
$$x_{57} = -78.5398163397448$$
$$x_{58} = 50.2654824574367$$
$$x_{59} = -37.6991118430775$$
$$x_{60} = -43.9822971502571$$
$$x_{61} = 47.1238898038469$$
$$x_{62} = 28.2743338823081$$
$$x_{63} = 62.8318530717959$$
$$x_{64} = -31.4159265358979$$
$$x_{65} = -12.5663706143592$$
$$x_{66} = 75.398223686155$$
$$x_{67} = -84.8230016469244$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 69.1150383789755$$
$$x_{2} = 65.9734457253857$$
$$x_{3} = -91.106186954104$$
$$x_{4} = 223.053078404875$$
$$x_{5} = -59.6902604182061$$
$$x_{6} = -358.141562509236$$
$$x_{7} = -21.9911485751286$$
$$x_{8} = 12.5663706143592$$
$$x_{9} = -69.1150383789755$$
$$x_{10} = -100.530964914873$$
$$x_{11} = 3.14159265358979$$
$$x_{12} = -3.14159265358979$$
$$x_{13} = -25.1327412287183$$
$$x_{14} = -116.238928182822$$
$$x_{15} = -53.4070751110265$$
$$x_{16} = -15.707963267949$$
$$x_{17} = -72.2566310325652$$
$$x_{18} = -295.309709437441$$
$$x_{19} = -81.6814089933346$$
$$x_{20} = -94.2477796076938$$
$$x_{21} = 18.8495559215388$$
$$x_{22} = -65.9734457253857$$
$$x_{23} = 94.2477796076938$$
$$x_{24} = 9.42477796076938$$
$$x_{25} = -40.8407044966673$$
$$x_{26} = 34.5575191894877$$
$$x_{27} = 0$$
$$x_{28} = 97.3893722612836$$
$$x_{29} = 53.4070751110265$$
$$x_{30} = -62.8318530717959$$
$$x_{31} = -182.212373908208$$
$$x_{32} = -28.2743338823081$$
$$x_{33} = -56.5486677646163$$
$$x_{34} = 59.6902604182061$$
$$x_{35} = 91.106186954104$$
$$x_{36} = 15.707963267949$$
$$x_{37} = -18.8495559215388$$
$$x_{38} = 6.28318530717959$$
$$x_{39} = 56.5486677646163$$
$$x_{40} = 87.9645943005142$$
$$x_{41} = 31.4159265358979$$
$$x_{42} = 25.1327412287183$$
$$x_{43} = 43.9822971502571$$
$$x_{44} = -47.1238898038469$$
$$x_{45} = -97.3893722612836$$
$$x_{46} = -50.2654824574367$$
$$x_{47} = -433.539786195391$$
$$x_{48} = 100.530964914873$$
$$x_{49} = 44921.6333536805$$
$$x_{50} = 81.6814089933346$$
$$x_{51} = -75.398223686155$$
$$x_{52} = 40.8407044966673$$
$$x_{53} = -9.42477796076938$$
$$x_{54} = 78.5398163397448$$
$$x_{55} = -6.28318530717959$$
$$x_{56} = 37.6991118430775$$
$$x_{57} = -78.5398163397448$$
$$x_{58} = 50.2654824574367$$
$$x_{59} = -37.6991118430775$$
$$x_{60} = -43.9822971502571$$
$$x_{61} = 47.1238898038469$$
$$x_{62} = 28.2743338823081$$
$$x_{63} = 62.8318530717959$$
$$x_{64} = -31.4159265358979$$
$$x_{65} = -12.5663706143592$$
$$x_{66} = 75.398223686155$$
$$x_{67} = -84.8230016469244$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} + \frac{\left(- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} + \frac{\left(- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 2.88230376151712 \cdot 10^{17}$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 2.88230376151712 \cdot 10^{17}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^-}\left(\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 5.73130968608109 \cdot 10^{32}$$
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^+}\left(\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 5.73130968608109 \cdot 10^{32}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 2.88230376151712 \cdot 10^{17}$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 2.88230376151712 \cdot 10^{17}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^-}\left(\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 5.73130968608109 \cdot 10^{32}$$
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^+}\left(\frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 5.73130968608109 \cdot 10^{32}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(5*x)*cos(3*x) - sin(3*x)*cos(5*x))/Abs(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} = \frac{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}$$
- No
$$\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} = - \frac{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} = \frac{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}$$
- No
$$\frac{- \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} = - \frac{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar