Sr Examen

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y=exp(x^(1/2))-x^5
Trazado el gráfico de la función/ y=exp(x^(1/2))-x^5

Gráfico de la función y = y=exp(x^(1/2))-x^5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ___     
        \/ x     5
f(x) = e      - x
f(x)=−x5+exf{\left(x \right)} = - x^{5} + e^{\sqrt{x}} 
f = -x^5 + exp(sqrt(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200000200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x5+ex=0- x^{5} + e^{\sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.2506521288043x_{1} = 1.2506521288043
x2=1.2506521288043x_{2} = 1.2506521288043
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(sqrt(x)) - x^5.
−05+e0- 0^{5} + e^{\sqrt{0}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5x4+ex2x=0- 5 x^{4} + \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.724290455289184x_{1} = 0.724290455289184
x2=0.724290455289186x_{2} = 0.724290455289186
x3=0.724290455289238x_{3} = 0.724290455289238
x4=0.724290455289184x_{4} = 0.724290455289184
x5=0.724290455289184x_{5} = 0.724290455289184
x6=0.724290455289195x_{6} = 0.724290455289195
Signos de extremos en los puntos:
(0.7242904552891841, 2.14278482553345)

(0.7242904552891858, 2.14278482553345)

(0.7242904552892381, 2.14278482553345)

(0.7242904552891839, 2.14278482553345)

(0.7242904552891838, 2.14278482553345)

(0.7242904552891949, 2.14278482553345)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x6=0.724290455289184x_{6} = 0.724290455289184
x6=0.724290455289186x_{6} = 0.724290455289186
x6=0.724290455289238x_{6} = 0.724290455289238
x6=0.724290455289184x_{6} = 0.724290455289184
x6=0.724290455289184x_{6} = 0.724290455289184
x6=0.724290455289195x_{6} = 0.724290455289195
Decrece en los intervalos
(−∞,0.724290455289184]\left(-\infty, 0.724290455289184\right]
Crece en los intervalos
[0.724290455289238,∞)\left[0.724290455289238, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−20x3+ex4x−ex4x32=0- 20 x^{3} + \frac{e^{\sqrt{x}}}{4 x} - \frac{e^{\sqrt{x}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(−x5+ex)\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{5} + e^{\sqrt{x}}\right)
lim⁡x→∞(−x5+ex)=∞\lim_{x \to \infty}\left(- x^{5} + e^{\sqrt{x}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(sqrt(x)) - x^5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(−x5+exx)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{5} + e^{\sqrt{x}}}{x}\right)
lim⁡x→∞(−x5+exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{5} + e^{\sqrt{x}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x5+ex=x5+e−x- x^{5} + e^{\sqrt{x}} = x^{5} + e^{\sqrt{- x}}
- No
−x5+ex=−x5−e−x- x^{5} + e^{\sqrt{x}} = - x^{5} - e^{\sqrt{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=exp(x^(1/2))-x^5
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