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acos(1-x)+sqrt(2*x-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ acos(1-x)+sqrt(2*x-x^2)

Gráfico de la función y = acos(1-x)+sqrt(2*x-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                        __________
                       /        2 
f(x) = acos(1 - x) + \/  2*x - x
f(x)=−x2+2x+acos⁡(1−x)f{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} 
f = sqrt(-x^2 + 2*x) + acos(1 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+2x+acos⁡(1−x)=0\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(1 - x) + sqrt(2*x - x^2).
acos⁡(1−0)+0⋅2−02\operatorname{acos}{\left(1 - 0 \right)} + \sqrt{0 \cdot 2 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−x−x2+2x+11−(1−x)2=0\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \left(1 - x\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x−1(1−(1−x)2)32−1x(2−x)−(x−1)2(x(2−x))32=0\frac{x - 1}{\left(1 - \left(1 - x\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x \left(2 - x\right)\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+2x+acos⁡(1−x))=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x2+2x+acos⁡(1−x))=∞i\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(1 - x) + sqrt(2*x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+2x+acos⁡(1−x)x)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞(−x2+2x+acos⁡(1−x)x)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+2x+acos⁡(1−x)=−x2−2x+acos⁡(x+1)\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} = \sqrt{- x^{2} - 2 x} + \operatorname{acos}{\left(x + 1 \right)}
- No
−x2+2x+acos⁡(1−x)=−−x2−2x−acos⁡(x+1)\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} = - \sqrt{- x^{2} - 2 x} - \operatorname{acos}{\left(x + 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = acos(1-x)+sqrt(2*x-x^2)
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