Sr Examen

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acos(1-x)+sqrt(2*x-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ acos(1-x)+sqrt(2*x-x^2)

Gráfico de la función y = acos(1-x)+sqrt(2*x-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                        __________
                       /        2 
f(x) = acos(1 - x) + \/  2*x - x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)}$$ 
f = sqrt(-x^2 + 2*x) + acos(1 - x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(1 - x) + sqrt(2*x - x^2).
$$\operatorname{acos}{\left(1 - 0 \right)} + \sqrt{0 \cdot 2 - 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \left(1 - x\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x - 1}{\left(1 - \left(1 - x\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x \left(2 - x\right)\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(1 - x) + sqrt(2*x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = i x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} = \sqrt{- x^{2} - 2 x} + \operatorname{acos}{\left(x + 1 \right)}$$
- No
$$\sqrt{- x^{2} + 2 x} + \operatorname{acos}{\left(1 - x \right)} = - \sqrt{- x^{2} - 2 x} - \operatorname{acos}{\left(x + 1 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = acos(1-x)+sqrt(2*x-x^2)
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