Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ acos((2*x^2+1)/sqrt(3^(x^2+2)))

Gráfico de la función y = acos((2*x^2+1)/sqrt(3^(x^2+2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /      2      \
           |   2*x  + 1  |
f(x) = acos|-------------|
           |    _________|
           |   /   2     |
           |  /   x  + 2 |
           \\/   3       /
f(x)=acos⁡(2x2+13x2+2)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{3^{x^{2} + 2}}} \right)} 
f = acos((2*x^2 + 1)/sqrt(3^(x^2 + 2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.52.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos((2*x^2 + 1)/sqrt(3^(x^2 + 2))).
acos⁡(2⋅02+1302+2)\operatorname{acos}{\left(\frac{2 \cdot 0^{2} + 1}{\sqrt{3^{0^{2} + 2}}} \right)}
Resultado:
f(0)=acos⁡(13)f{\left(0 \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}
Punto:
(0, acos(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4⋅3−x22−1x−3x22+1⋅3x2+2⋅9−x2−2x(2x2+1)log⁡(3)−3−x2−2(2x2+1)2+1=0- \frac{4 \cdot 3^{- \frac{x^{2}}{2} - 1} x - 3^{\frac{x^{2}}{2} + 1} \cdot 3^{x^{2} + 2} \cdot 9^{- x^{2} - 2} x \left(2 x^{2} + 1\right) \log{\left(3 \right)}}{\sqrt{- 3^{- x^{2} - 2} \left(2 x^{2} + 1\right)^{2} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−8−2log⁡(3)2log⁡(3)x_{2} = - \frac{\sqrt{8 - 2 \log{\left(3 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(3 \right)}}}
x3=8−2log⁡(3)2log⁡(3)x_{3} = \frac{\sqrt{8 - 2 \log{\left(3 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(3 \right)}}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, acos(1/3))

                         /      8 - 2*log(3)                   \ 
    ______________       | -1 - ------------                   | 
 -\/ 8 - 2*log(3)        |        8*log(3)   /    8 - 2*log(3)\| 
(------------------, acos|3                 *|1 + ------------||)
        ________         \                   \      2*log(3)  // 
    2*\/ log(3)                                                  

                       /      8 - 2*log(3)                   \ 
   ______________      | -1 - ------------                   | 
 \/ 8 - 2*log(3)       |        8*log(3)   /    8 - 2*log(3)\| 
(----------------, acos|3                 *|1 + ------------||)
       ________        \                   \      2*log(3)  // 
   2*\/ log(3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−8−2log⁡(3)2log⁡(3)x_{1} = - \frac{\sqrt{8 - 2 \log{\left(3 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(3 \right)}}}
x2=8−2log⁡(3)2log⁡(3)x_{2} = \frac{\sqrt{8 - 2 \log{\left(3 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(3 \right)}}}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−8−2log⁡(3)2log⁡(3),0]∪[8−2log⁡(3)2log⁡(3),∞)\left[- \frac{\sqrt{8 - 2 \log{\left(3 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(3 \right)}}}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{8 - 2 \log{\left(3 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(3 \right)}}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−8−2log⁡(3)2log⁡(3)]∪[0,8−2log⁡(3)2log⁡(3)]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{8 - 2 \log{\left(3 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(3 \right)}}}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{8 - 2 \log{\left(3 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(3 \right)}}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(2x2+13x2+2)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{3^{x^{2} + 2}}} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞acos⁡(2x2+13x2+2)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{3^{x^{2} + 2}}} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos((2*x^2 + 1)/sqrt(3^(x^2 + 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(2x2+13x2+2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{3^{x^{2} + 2}}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(2x2+13x2+2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{3^{x^{2} + 2}}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(2x2+13x2+2)=acos⁡(2x2+13x2+2)\operatorname{acos}{\left(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{3^{x^{2} + 2}}} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{3^{x^{2} + 2}}} \right)}
- Sí
acos⁡(2x2+13x2+2)=−acos⁡(2x2+13x2+2)\operatorname{acos}{\left(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{3^{x^{2} + 2}}} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{3^{x^{2} + 2}}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
    © Sr Examen – Калькулятор