Sr Examen

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Gráfico de la función y = (1-cos(x))/(2(1-cos(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         1 - cos(x)  
f(x) = --------------
       2*(1 - cos(x))
f(x)=1cos(x)2(1cos(x))f{\left(x \right)} = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}
f = (1 - cos(x))/((2*(1 - cos(x))))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.499999999999999940.50000000000000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1cos(x)2(1cos(x))=0\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - cos(x))/((2*(1 - cos(x)))).
1cos(0)2(1cos(0))\frac{1 - \cos{\left(0 \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(0 \right)}\right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12(1cos(x))sin(x)sin(x)2(1cos(x))=0\frac{1}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
0=00 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(1cos(x)2(1cos(x)))=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=12y = \frac{1}{2}
limx(1cos(x)2(1cos(x)))=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=12y = \frac{1}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(x))/((2*(1 - cos(x)))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(12(1cos(x))(1cos(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(12(1cos(x))(1cos(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1cos(x)2(1cos(x))=1cos(x)2(1cos(x))\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}
- Sí
1cos(x)2(1cos(x))=1cos(x)2(1cos(x))\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} = - \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}
- No
es decir, función
es
par