Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x-2+sin(1/x)

Gráfico de la función y = x-2+sin(1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  /1\
f(x) = x - 2 + sin|-|
                  \x/
f(x)=(x−2)+sin⁡(1x)f{\left(x \right)} = \left(x - 2\right) + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} 
f = x - 2 + sin(1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−2)+sin⁡(1x)=0\left(x - 2\right) + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.30766271568223x_{1} = 1.30766271568223
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - 2 + sin(1/x).
−2+sin⁡(10)-2 + \sin{\left(\frac{1}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−cos⁡(1x)x2=01 - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2cos⁡(1x)−sin⁡(1x)xx3=0\frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−24517.764514177x_{1} = -24517.764514177
x2=−31297.9789349291x_{2} = -31297.9789349291
x3=−22822.7684696829x_{3} = -22822.7684696829
x4=−37230.8517263672x_{4} = -37230.8517263672
x5=−42316.2509339008x_{5} = -42316.2509339008
x6=33971.8484557919x_{6} = 33971.8484557919
x7=28886.5862895034x_{7} = 28886.5862895034
x8=−38925.9782260908x_{8} = -38925.9782260908
x9=−13501.2455714192x_{9} = -13501.2455714192
x10=−27060.3085181287x_{10} = -27060.3085181287
x11=−30450.4370366936x_{11} = -30450.4370366936
x12=−23670.2626854463x_{12} = -23670.2626854463
x13=−28755.3642709925x_{13} = -28755.3642709925
x14=32276.7483423665x_{14} = 32276.7483423665
x15=−34688.1770045647x_{15} = -34688.1770045647
x16=−16043.2338667424x_{16} = -16043.2338667424
x17=−17738.0242579883x_{17} = -17738.0242579883
x18=23801.4794641224x_{18} = 23801.4794641224
x19=−21127.8065465298x_{19} = -21127.8065465298
x20=39904.771377312x_{20} = 39904.771377312
x21=33124.297012115x_{21} = 33124.297012115
x22=20411.5519538498x_{22} = 20411.5519538498
x23=25496.4920696083x_{23} = 25496.4920696083
x24=−33840.6233739026x_{24} = -33840.6233739026
x25=−19432.887686874x_{25} = -19432.887686874
x26=−26212.7880538116x_{26} = -26212.7880538116
x27=17021.8196886792x_{27} = 17021.8196886792
x28=−18585.4480940284x_{28} = -18585.4480940284
x29=18716.6547734102x_{29} = 18716.6547734102
x30=22106.496925216x_{30} = 22106.496925216
x31=42447.4788863631x_{31} = 42447.4788863631
x32=−11806.7845665482x_{32} = -11806.7845665482
x33=37362.078192229x_{33} = 37362.078192229
x34=17869.2283625365x_{34} = 17869.2283625365
x35=−15195.8737165349x_{35} = -15195.8737165349
x36=39057.2052525216x_{36} = 39057.2052525216
x37=−32145.5241220507x_{37} = -32145.5241220507
x38=21259.0191811792x_{38} = 21259.0191811792
x39=12785.166209279x_{39} = 12785.166209279
x40=34819.4024707177x_{40} = 34819.4024707177
x41=40752.3390879025x_{41} = 40752.3390879025
x42=15327.0673496263x_{42} = 15327.0673496263
x43=30581.6602478055x_{43} = 30581.6602478055
x44=−21975.2827488203x_{44} = -21975.2827488203
x45=16174.4315462694x_{45} = 16174.4315462694
x46=−29602.8987100326x_{46} = -29602.8987100326
x47=29734.1213504079x_{47} = 29734.1213504079
x48=13632.4287111505x_{48} = 13632.4287111505
x49=22953.9840195429x_{49} = 22953.9840195429
x50=14479.7313150492x_{50} = 14479.7313150492
x51=−16890.6185554691x_{51} = -16890.6185554691
x52=28039.0554132717x_{52} = 28039.0554132717
x53=−40621.1115695252x_{53} = -40621.1115695252
x54=27191.5291133465x_{54} = 27191.5291133465
x55=−35535.7330502043x_{55} = -35535.7330502043
x56=−27907.8340740483x_{56} = -27907.8340740483
x57=−25365.273191964x_{57} = -25365.273191964
x58=−38078.4140636161x_{58} = -38078.4140636161
x59=19564.09661214x_{59} = 19564.09661214
x60=−41468.6805452608x_{60} = -41468.6805452608
x61=35666.9588734903x_{61} = 35666.9588734903
x62=−14348.5424650725x_{62} = -14348.5424650725
x63=36514.5174977468x_{63} = 36514.5174977468
x64=−36383.2913419629x_{64} = -36383.2913419629
x65=26344.0078318137x_{65} = 26344.0078318137
x66=24648.982396646x_{66} = 24648.982396646
x67=11937.9523841008x_{67} = 11937.9523841008
x68=−32993.0723444395x_{68} = -32993.0723444395
x69=31429.2026711056x_{69} = 31429.2026711056
x70=38209.640819107x_{70} = 38209.640819107
x71=41599.9082873259x_{71} = 41599.9082873259
x72=−39773.5440970563x_{72} = -39773.5440970563
x73=−12653.9899632038x_{73} = -12653.9899632038
x74=−20280.3410578956x_{74} = -20280.3410578956
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)+sin⁡(1x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−2)+sin⁡(1x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - 2 + sin(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)+sin⁡(1x)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x−2)+sin⁡(1x)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−2)+sin⁡(1x)=−x−sin⁡(1x)−2\left(x - 2\right) + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} = - x - \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2
- No
(x−2)+sin⁡(1x)=x+sin⁡(1x)+2\left(x - 2\right) + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} = x + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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