Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{2 \left(1 + \frac{1}{x + 1}\right) e^{3}}{x e^{3} - 1} + \frac{2 \left(x + \log{\left(x + 1 \right)}\right) e^{6}}{\left(x e^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x e^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 56611.3592417077$$
$$x_{2} = 19498.0366265812$$
$$x_{3} = 48870.6758033528$$
$$x_{4} = 32085.4854147066$$
$$x_{5} = 24114.8546907166$$
$$x_{6} = 14814.6949792446$$
$$x_{7} = 17166.3332373115$$
$$x_{8} = 26404.455296595$$
$$x_{9} = 54404.4955270398$$
$$x_{10} = 38838.5985099683$$
$$x_{11} = 55508.3764746033$$
$$x_{12} = 41077.0058534584$$
$$x_{13} = 28683.6531124671$$
$$x_{14} = 44424.4463108943$$
$$x_{15} = 29819.7323124556$$
$$x_{16} = 42194.1240919054$$
$$x_{17} = 13629.8660737113$$
$$x_{18} = 47760.8193944966$$
$$x_{19} = 37717.195546317$$
$$x_{20} = 15993.281579945$$
$$x_{21} = 20657.5665083332$$
$$x_{22} = 12437.9076941064$$
$$x_{23} = 57713.468128039$$
$$x_{24} = 35469.6733676795$$
$$x_{25} = 45537.7431524354$$
$$x_{26} = 58814.7262833124$$
$$x_{27} = 30953.638215251$$
$$x_{28} = 51087.2015354816$$
$$x_{29} = 46649.8542947203$$
$$x_{30} = 10027.6582364013$$
$$x_{31} = 49979.4587553938$$
$$x_{32} = 36594.2433058371$$
$$x_{33} = 33215.3781795284$$
$$x_{34} = 39958.515629056$$
$$x_{35} = 22965.7012481375$$
$$x_{36} = 11237.6779860332$$
$$x_{37} = 25261.0404081678$$
$$x_{38} = 27545.2741610951$$
$$x_{39} = 18334.4258830456$$
$$x_{40} = 34343.4117390348$$
$$x_{41} = 43309.9215982368$$
$$x_{42} = 53299.6908654741$$
$$x_{43} = 52193.935630466$$
$$x_{44} = 8805.73958082661$$
$$x_{45} = 21813.3568427072$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.0497870683678639$$
$$\lim_{x \to 0.0497870683678639^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(1 + \frac{1}{x + 1}\right) e^{3}}{x e^{3} - 1} + \frac{2 \left(x + \log{\left(x + 1 \right)}\right) e^{6}}{\left(x e^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x e^{3} - 1}\right) = \frac{1 \left(- 0.0298125420122972 e^{9} - 4.13103155229943 e^{3} + 9.10065184499877 \cdot 10^{-9} e^{15} + 0.907397467091521 + 0.000492535691929143 e^{12} + 0.603446826946781 e^{6}\right)}{- 0.00246819608173359 e^{9} - 1.83541392301096 \cdot 10^{-6} e^{15} - 0.298722410207184 e^{3} + 1 + 1.52299797447126 \cdot 10^{-8} e^{18} + 0.0371812826499954 e^{6} + 9.21631852999232 \cdot 10^{-5} e^{12}}$$
$$\lim_{x \to 0.0497870683678639^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(1 + \frac{1}{x + 1}\right) e^{3}}{x e^{3} - 1} + \frac{2 \left(x + \log{\left(x + 1 \right)}\right) e^{6}}{\left(x e^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x e^{3} - 1}\right) = \frac{1 \left(- 0.0298125420122972 e^{9} - 4.13103155229943 e^{3} + 9.10065184499877 \cdot 10^{-9} e^{15} + 0.907397467091521 + 0.000492535691929143 e^{12} + 0.603446826946781 e^{6}\right)}{- 0.00246819608173359 e^{9} - 1.83541392301096 \cdot 10^{-6} e^{15} - 0.298722410207184 e^{3} + 1 + 1.52299797447126 \cdot 10^{-8} e^{18} + 0.0371812826499954 e^{6} + 9.21631852999232 \cdot 10^{-5} e^{12}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico