Sr Examen

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x^2/sqrt(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ x^2/sqrt(x^2+1)

Gráfico de la función y = x^2/sqrt(x^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             2    
            x     
f(x) = -----------
          ________
         /  2     
       \/  x  + 1
f(x)=x2x2+1f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} 
f = x^2/sqrt(x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2x2+1=0\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/sqrt(x^2 + 1).
0202+1\frac{0^{2}}{\sqrt{0^{2} + 1}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x3(x2+1)32+2xx2+1=0- \frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x2(3x2x2+1−1)x2+1−4x2x2+1+2x2+1=0\frac{\frac{x^{2} \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} + 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2,2]\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−2]∪[2,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2x2+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2x2+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/sqrt(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xx2+1)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(xx2+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2x2+1=x2x2+1\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}
- Sí
x2x2+1=−x2x2+1\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2/sqrt(x^2+1)
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