Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ atan((1-x)/(1+x))^-2

Gráfico de la función y = atan((1-x)/(1+x))^-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1      
f(x) = ------------
           2/1 - x\
       atan |-----|
            \1 + x/
f(x)=1atan⁡2(1−xx+1)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} 
f = atan((1 - x)/(x + 1))^(-2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1atan⁡2(1−xx+1)=0\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((1 - x)/(1 + x))^(-2).
1atan⁡2(1−01)\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - 0}{1} \right)}}
Resultado:
f(0)=16π2f{\left(0 \right)} = \frac{16}{\pi^{2}}
Punto:
(0, 16/pi^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2(−1−x(x+1)2−1x+1)((1−x)2(x+1)2+1)atan⁡3(1−xx+1)=0- \frac{2 \left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{\left(\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x−1x+1−1)(2(x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)+3(x−1x+1−1)((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡(x−1x+1)−2)(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡3(x−1x+1)=0\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−27029.4148971184x_{1} = -27029.4148971184
x2=−22793.716930171x_{2} = -22793.716930171
x3=−24487.8944087724x_{3} = -24487.8944087724
x4=25545.2257625422x_{4} = 25545.2257625422
x5=−21946.6915457938x_{5} = -21946.6915457938
x6=28934.3644686674x_{6} = 28934.3644686674
x7=−19405.9398392386x_{7} = -19405.9398392386
x8=23003.6065373258x_{8} = 23003.6065373258
x9=−38892.1521836074x_{9} = -38892.1521836074
x10=18768.2493646861x_{10} = 18768.2493646861
x11=41645.4351882857x_{11} = 41645.4351882857
x12=23850.7860472359x_{12} = 23850.7860472359
x13=24697.9933352965x_{13} = 24697.9933352965
x14=−32113.0946919035x_{14} = -32113.0946919035
x15=32323.7615312024x_{15} = 32323.7615312024
x16=22156.4578273115x_{16} = 22156.4578273115
x17=35713.3458095488x_{17} = 35713.3458095488
x18=19615.2340912683x_{18} = 19615.2340912683
x19=34018.5336453148x_{19} = 34018.5336453148
x20=20462.2672568572x_{20} = 20462.2672568572
x21=−43129.3552142019x_{21} = -43129.3552142019
x22=−25335.0375823493x_{22} = -25335.0375823493
x23=−42281.9010884526x_{23} = -42281.9010884526
x24=29781.6928241211x_{24} = 29781.6928241211
x25=39103.0700866526x_{25} = 39103.0700866526
x26=27239.757050609x_{26} = 27239.757050609
x27=−21099.7156155475x_{27} = -21099.7156155475
x28=39950.5189782089x_{28} = 39950.5189782089
x29=33171.1422118906x_{29} = 33171.1422118906
x30=−36349.9251948329x_{30} = -36349.9251948329
x31=−28723.8947896457x_{31} = -28723.8947896457
x32=21309.3433937365x_{32} = 21309.3433937365
x33=−34655.1567403154x_{33} = -34655.1567403154
x34=40797.9741359718x_{34} = 40797.9741359718
x35=−30418.4593733517x_{35} = -30418.4593733517
x36=37408.1927518611x_{36} = 37408.1927518611
x37=−29571.1674457004x_{37} = -29571.1674457004
x38=−26182.2121095319x_{38} = -26182.2121095319
x39=30629.0358615931x_{39} = 30629.0358615931
x40=−31265.7689398699x_{40} = -31265.7689398699
x41=−23640.7861505459x_{41} = -23640.7861505459
x42=−20252.7957605551x_{42} = -20252.7957605551
x43=−39739.578376954x_{43} = -39739.578376954
x44=34865.935073885x_{44} = 34865.935073885
x45=−41434.4532947861x_{45} = -41434.4532947861
x46=31476.3924393896x_{46} = 31476.3924393896
x47=36560.7652259908x_{47} = 36560.7652259908
x48=38255.627864874x_{48} = 38255.627864874
x49=−32960.4353315037x_{49} = -32960.4353315037
x50=−38044.7341926607x_{50} = -38044.7341926607
x51=−35502.5355234316x_{51} = -35502.5355234316
x52=28087.0520689961x_{52} = 28087.0520689961
x53=50083.4516590066x_{53} = 50083.4516590066
x54=−37197.3249843191x_{54} = -37197.3249843191
x55=−33807.7896958931x_{55} = -33807.7896958931
x56=−27876.6432458536x_{56} = -27876.6432458536
x57=26392.4810140345x_{57} = 26392.4810140345
x58=−40587.0122425022x_{58} = -40587.0122425022
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2(x−1x+1−1)(2(x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)+3(x−1x+1−1)((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡(x−1x+1)−2)(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡3(x−1x+1))=−1(−24+8π)π4\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = - \frac{1 \left(-24 + 8 \pi\right)}{\pi^{4}}
lim⁡x→−1+(2(x−1x+1−1)(2(x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)+3(x−1x+1−1)((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡(x−1x+1)−2)(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡3(x−1x+1))=1(24+8π)π4\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = \frac{1 \left(24 + 8 \pi\right)}{\pi^{4}}
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(x−1x+1−1)(2(x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)+3(x−1x+1−1)((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡(x−1x+1)−2)(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡3(x−1x+1))=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(2(x−1x+1−1)(2(x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)+3(x−1x+1−1)((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡(x−1x+1)−2)(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1)atan⁡3(x−1x+1))=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1atan⁡2(1−xx+1)=16π2\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = \frac{16}{\pi^{2}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=16π2y = \frac{16}{\pi^{2}}
lim⁡x→∞1atan⁡2(1−xx+1)=16π2\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = \frac{16}{\pi^{2}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=16π2y = \frac{16}{\pi^{2}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((1 - x)/(1 + x))^(-2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xatan⁡2(1−xx+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1xatan⁡2(1−xx+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1atan⁡2(1−xx+1)=1atan⁡2(x+11−x)\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}
- No
1atan⁡2(1−xx+1)=−1atan⁡2(x+11−x)\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = - \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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