Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- atan((uno -x)/(uno +x))^- dos
- arco tangente de gente de ((1 menos x) dividir por (1 más x)) en el grado menos 2
- arco tangente de gente de ((uno menos x) dividir por (uno más x)) en el grado menos dos
- atan((1-x)/(1+x))-2
- atan1-x/1+x-2
- atan1-x/1+x^-2
- atan((1-x) dividir por (1+x))^-2
-
Expresiones semejantes
- atan((1-x)/(1+x))^+2
- atan((1+x)/(1+x))^-2
- atan((1-x)/(1-x))^-2
- arctan((1-x)/(1+x))^-2
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(x^2-1/(x^2+1))
- atan(21*x)/(-1+e^(-7*x))
- atan((x)/(4))
- atan(x)*(1+x^2)
- atan(1+5*x^2)^(1/3)
Gráfico de la función y = atan((1-x)/(1+x))^-2
Solución
Ha introducido
[src]
1
f(x) = ------------
2/1 - x\
atan |-----|
\1 + x/
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}$$
f = atan((1 - x)/(x + 1))^(-2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{\left(\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{\left(\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -27029.4148971184$$
$$x_{2} = -22793.716930171$$
$$x_{3} = -24487.8944087724$$
$$x_{4} = 25545.2257625422$$
$$x_{5} = -21946.6915457938$$
$$x_{6} = 28934.3644686674$$
$$x_{7} = -19405.9398392386$$
$$x_{8} = 23003.6065373258$$
$$x_{9} = -38892.1521836074$$
$$x_{10} = 18768.2493646861$$
$$x_{11} = 41645.4351882857$$
$$x_{12} = 23850.7860472359$$
$$x_{13} = 24697.9933352965$$
$$x_{14} = -32113.0946919035$$
$$x_{15} = 32323.7615312024$$
$$x_{16} = 22156.4578273115$$
$$x_{17} = 35713.3458095488$$
$$x_{18} = 19615.2340912683$$
$$x_{19} = 34018.5336453148$$
$$x_{20} = 20462.2672568572$$
$$x_{21} = -43129.3552142019$$
$$x_{22} = -25335.0375823493$$
$$x_{23} = -42281.9010884526$$
$$x_{24} = 29781.6928241211$$
$$x_{25} = 39103.0700866526$$
$$x_{26} = 27239.757050609$$
$$x_{27} = -21099.7156155475$$
$$x_{28} = 39950.5189782089$$
$$x_{29} = 33171.1422118906$$
$$x_{30} = -36349.9251948329$$
$$x_{31} = -28723.8947896457$$
$$x_{32} = 21309.3433937365$$
$$x_{33} = -34655.1567403154$$
$$x_{34} = 40797.9741359718$$
$$x_{35} = -30418.4593733517$$
$$x_{36} = 37408.1927518611$$
$$x_{37} = -29571.1674457004$$
$$x_{38} = -26182.2121095319$$
$$x_{39} = 30629.0358615931$$
$$x_{40} = -31265.7689398699$$
$$x_{41} = -23640.7861505459$$
$$x_{42} = -20252.7957605551$$
$$x_{43} = -39739.578376954$$
$$x_{44} = 34865.935073885$$
$$x_{45} = -41434.4532947861$$
$$x_{46} = 31476.3924393896$$
$$x_{47} = 36560.7652259908$$
$$x_{48} = 38255.627864874$$
$$x_{49} = -32960.4353315037$$
$$x_{50} = -38044.7341926607$$
$$x_{51} = -35502.5355234316$$
$$x_{52} = 28087.0520689961$$
$$x_{53} = 50083.4516590066$$
$$x_{54} = -37197.3249843191$$
$$x_{55} = -33807.7896958931$$
$$x_{56} = -27876.6432458536$$
$$x_{57} = 26392.4810140345$$
$$x_{58} = -40587.0122425022$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = - \frac{1 \left(-24 + 8 \pi\right)}{\pi^{4}}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = \frac{1 \left(24 + 8 \pi\right)}{\pi^{4}}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -27029.4148971184$$
$$x_{2} = -22793.716930171$$
$$x_{3} = -24487.8944087724$$
$$x_{4} = 25545.2257625422$$
$$x_{5} = -21946.6915457938$$
$$x_{6} = 28934.3644686674$$
$$x_{7} = -19405.9398392386$$
$$x_{8} = 23003.6065373258$$
$$x_{9} = -38892.1521836074$$
$$x_{10} = 18768.2493646861$$
$$x_{11} = 41645.4351882857$$
$$x_{12} = 23850.7860472359$$
$$x_{13} = 24697.9933352965$$
$$x_{14} = -32113.0946919035$$
$$x_{15} = 32323.7615312024$$
$$x_{16} = 22156.4578273115$$
$$x_{17} = 35713.3458095488$$
$$x_{18} = 19615.2340912683$$
$$x_{19} = 34018.5336453148$$
$$x_{20} = 20462.2672568572$$
$$x_{21} = -43129.3552142019$$
$$x_{22} = -25335.0375823493$$
$$x_{23} = -42281.9010884526$$
$$x_{24} = 29781.6928241211$$
$$x_{25} = 39103.0700866526$$
$$x_{26} = 27239.757050609$$
$$x_{27} = -21099.7156155475$$
$$x_{28} = 39950.5189782089$$
$$x_{29} = 33171.1422118906$$
$$x_{30} = -36349.9251948329$$
$$x_{31} = -28723.8947896457$$
$$x_{32} = 21309.3433937365$$
$$x_{33} = -34655.1567403154$$
$$x_{34} = 40797.9741359718$$
$$x_{35} = -30418.4593733517$$
$$x_{36} = 37408.1927518611$$
$$x_{37} = -29571.1674457004$$
$$x_{38} = -26182.2121095319$$
$$x_{39} = 30629.0358615931$$
$$x_{40} = -31265.7689398699$$
$$x_{41} = -23640.7861505459$$
$$x_{42} = -20252.7957605551$$
$$x_{43} = -39739.578376954$$
$$x_{44} = 34865.935073885$$
$$x_{45} = -41434.4532947861$$
$$x_{46} = 31476.3924393896$$
$$x_{47} = 36560.7652259908$$
$$x_{48} = 38255.627864874$$
$$x_{49} = -32960.4353315037$$
$$x_{50} = -38044.7341926607$$
$$x_{51} = -35502.5355234316$$
$$x_{52} = 28087.0520689961$$
$$x_{53} = 50083.4516590066$$
$$x_{54} = -37197.3249843191$$
$$x_{55} = -33807.7896958931$$
$$x_{56} = -27876.6432458536$$
$$x_{57} = 26392.4810140345$$
$$x_{58} = -40587.0122425022$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = - \frac{1 \left(-24 + 8 \pi\right)}{\pi^{4}}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = \frac{1 \left(24 + 8 \pi\right)}{\pi^{4}}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{3 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = \frac{16}{\pi^{2}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{16}{\pi^{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = \frac{16}{\pi^{2}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{16}{\pi^{2}}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = \frac{16}{\pi^{2}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{16}{\pi^{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = \frac{16}{\pi^{2}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{16}{\pi^{2}}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((1 - x)/(1 + x))^(-2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}$$
- No
$$\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = - \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}$$
- No
$$\frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}} = - \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar