Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^-x*sin(2*(sqrt(2))*x-1)

Gráfico de la función y = e^-x*sin(2*(sqrt(2))*x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x    /    ___      \
f(x) = E  *sin\2*\/ 2 *x - 1/
f(x)=e−xsin⁡(22x−1)f{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)} 
f = E^(-x)*sin((2*sqrt(2))*x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−xsin⁡(22x−1)=0e^{- x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=24x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{4}
x2=2(1+π)4x_{2} = \frac{\sqrt{2} \left(1 + \pi\right)}{4}
Solución numérica
x1=40.3394998340186x_{1} = 40.3394998340186
x2=−17.4179783620402x_{2} = -17.4179783620402
x3=10.3500400014496x_{3} = 10.3500400014496
x4=95.8755365609981x_{4} = 95.8755365609981
x5=28.1215717540831x_{5} = 28.1215717540831
x6=−7.42149175118387x_{6} = -7.42149175118387
x7=59.2217523211916x_{7} = 59.2217523211916
x8=32.5644546922414x_{8} = 32.5644546922414
x9=82.5468877465231x_{9} = 82.5468877465231
x10=75.8825633392855x_{10} = 75.8825633392855
x11=88.100491419221x_{11} = 88.100491419221
x12=−25.1930235038173x_{12} = -25.1930235038173
x13=−1.86788807848591x_{13} = -1.86788807848591
x14=25.9001302850039x_{14} = 25.9001302850039
x15=42.5609413030978x_{15} = 42.5609413030978
x16=60.3324730557312x_{16} = 60.3324730557312
x17=−11.8643746893422x_{17} = -11.8643746893422
x18=22.5679680813851x_{18} = 22.5679680813851
x19=58.111031586652x_{19} = 58.111031586652
x20=35.8966168958602x_{20} = 35.8966168958602
x21=65.8860767284292x_{21} = 65.8860767284292
x22=12.5714814705288x_{22} = 12.5714814705288
x23=98.0969780300773x_{23} = 98.0969780300773
x24=52.5574279139541x_{24} = 52.5574279139541
x25=−29.6359064419757x_{25} = -29.6359064419757
x26=30.3430132231622x_{26} = 30.3430132231622
x27=68.1075181975084x_{27} = 68.1075181975084
x28=−24.0823027692777x_{28} = -24.0823027692777
x29=−27.4144649728965x_{29} = -27.4144649728965
x30=−21.8608613001986x_{30} = -21.8608613001986
x31=69.218238932048x_{31} = 69.218238932048
x32=0.353553390593274x_{32} = 0.353553390593274
x33=48.1145449757957x_{33} = 48.1145449757957
x34=90.3219328883002x_{34} = 90.3219328883002
x35=92.5433743573794x_{35} = 92.5433743573794
x36=50.3359864448749x_{36} = 50.3359864448749
x37=38.1180583649394x_{37} = 38.1180583649394
x38=72.5504011356667x_{38} = 72.5504011356667
x39=15.9036436741476x_{39} = 15.9036436741476
x40=45.8931035067165x_{40} = 45.8931035067165
x41=−15.196536892961x_{41} = -15.196536892961
x42=−19.6394198311194x_{42} = -19.6394198311194
x43=62.5539145248104x_{43} = 62.5539145248104
x44=85.8790499501418x_{44} = 85.8790499501418
x45=70.3289596665875x_{45} = 70.3289596665875
x46=78.1040048083647x_{46} = 78.1040048083647
x47=79.2147255429043x_{47} = 79.2147255429043
x48=−5.20005028210468x_{48} = -5.20005028210468
x49=55.8895901175729x_{49} = 55.8895901175729
x50=−9.64293322026305x_{50} = -9.64293322026305
x51=5.90715706329123x_{51} = 5.90715706329123
x52=8.12859853237041x_{52} = 8.12859853237041
x53=2.57499485967246x_{53} = 2.57499485967246
x54=20.3465266123059x_{54} = 20.3465266123059
x55=−14.0858161584214x_{55} = -14.0858161584214
x56=−4.08932954756509x_{56} = -4.08932954756509
x57=100.318419499157x_{57} = 100.318419499157
x58=80.3254462774439x_{58} = 80.3254462774439
x59=18.1250851432267x_{59} = 18.1250851432267
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(-x)*sin((2*sqrt(2))*x - 1).
e−0sin⁡(−1+0⋅22)e^{- 0} \sin{\left(-1 + 0 \cdot 2 \sqrt{2} \right)}
Resultado:
f(0)=−sin⁡(1)f{\left(0 \right)} = - \sin{\left(1 \right)}
Punto:
(0, -sin(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−e−xsin⁡(22x−1)+22e−xcos⁡(22x−1)=0- e^{- x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)} + 2 \sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2(1+atan⁡(22))4x_{1} = \frac{\sqrt{2} \left(1 + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}\right)}{4}
Signos de extremos en los puntos:
                                        ___ /        /    ___\\  
                                     -\/ 2 *\1 + atan\2*\/ 2 //  
                                     --------------------------- 
   ___ /        /    ___\\      ___               4              
 \/ 2 *\1 + atan\2*\/ 2 //  2*\/ 2 *e                            
(-------------------------, ------------------------------------)
             4                               3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2(1+atan⁡(22))4x_{1} = \frac{\sqrt{2} \left(1 + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}\right)}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,2(1+atan⁡(22))4]\left(-\infty, \frac{\sqrt{2} \left(1 + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}\right)}{4}\right]
Crece en los intervalos
[2(1+atan⁡(22))4,∞)\left[\frac{\sqrt{2} \left(1 + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}\right)}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−7sin⁡(22x−1)−42cos⁡(22x−1))e−x=0\left(- 7 \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)} - 4 \sqrt{2} \cos{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2(1−atan⁡(427))4x_{1} = \frac{\sqrt{2} \left(1 - \operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{2}}{7} \right)}\right)}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2(1−atan⁡(427))4]\left(-\infty, \frac{\sqrt{2} \left(1 - \operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{2}}{7} \right)}\right)}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[2(1−atan⁡(427))4,∞)\left[\frac{\sqrt{2} \left(1 - \operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{2}}{7} \right)}\right)}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−xsin⁡(22x−1))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞(e−xsin⁡(22x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-x)*sin((2*sqrt(2))*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−xsin⁡(22x−1)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞(e−xsin⁡(22x−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−xsin⁡(22x−1)=−exsin⁡(22x+1)e^{- x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)} = - e^{x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x + 1 \right)}
- No
e−xsin⁡(22x−1)=exsin⁡(22x+1)e^{- x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x - 1 \right)} = e^{x} \sin{\left(2 \sqrt{2} x + 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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