Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(3/x)

Gráfico de la función y = sin(3/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /3\
f(x) = sin|-|
          \x/
f(x)=sin⁡(3x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{3}{x} \right)} 
f = sin(3/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(3x)=0\sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3πx_{1} = \frac{3}{\pi}
Solución numérica
x1=0.954929658551372x_{1} = 0.954929658551372
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(3/x).
sin⁡(30)\sin{\left(\frac{3}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3cos⁡(3x)x2=0- \frac{3 \cos{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2πx_{1} = \frac{2}{\pi}
x2=6πx_{2} = \frac{6}{\pi}
Signos de extremos en los puntos:
 2      
(--, -1)
 pi     

 6     
(--, 1)
 pi


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = \frac{2}{\pi}
Puntos máximos de la función:
x1=6πx_{1} = \frac{6}{\pi}
Decrece en los intervalos
[2π,6π]\left[\frac{2}{\pi}, \frac{6}{\pi}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,2π]∪[6π,∞)\left(-\infty, \frac{2}{\pi}\right] \cup \left[\frac{6}{\pi}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(2cos⁡(3x)−3sin⁡(3x)x)x3=0\frac{3 \left(2 \cos{\left(\frac{3}{x} \right)} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−28774.3944374859x_{1} = -28774.3944374859
x2=−23693.4001911576x_{2} = -23693.4001911576
x3=−2.78584127589035x_{3} = -2.78584127589035
x4=−24540.0983450048x_{4} = -24540.0983450048
x5=41613.0509604376x_{5} = 41613.0509604376
x6=28905.5301426331x_{6} = 28905.5301426331
x7=21284.7976258594x_{7} = 21284.7976258594
x8=−34703.9438537314x_{8} = -34703.9438537314
x9=36529.4942720678x_{9} = 36529.4942720678
x10=−29621.3822343593x_{10} = -29621.3822343593
x11=−27927.444259667x_{11} = -27927.444259667
x12=−16923.1234128838x_{12} = -16923.1234128838
x13=25517.9652775594x_{13} = 25517.9652775594
x14=−22846.769805684x_{14} = -22846.769805684
x15=−20307.3711482558x_{15} = -20307.3711482558
x16=38223.9518251469x_{16} = 38223.9518251469
x17=22131.2811702828x_{17} = 22131.2811702828
x18=−41481.8646705299x_{18} = -41481.8646705299
x19=39918.4733355449x_{19} = 39918.4733355449
x20=27211.6583531168x_{20} = 27211.6583531168
x21=37376.7145079259x_{21} = 37376.7145079259
x22=22977.8480941884x_{22} = 22977.8480941884
x23=−17768.9616772321x_{23} = -17768.9616772321
x24=2.78584127589035x_{24} = 2.78584127589035
x25=19592.1245411985x_{25} = 19592.1245411985
x26=−26233.6714569158x_{26} = -26233.6714569158
x27=42460.3587087778x_{27} = 42460.3587087778
x28=−21153.7452990655x_{28} = -21153.7452990655
x29=−38092.7742400007x_{29} = -38092.7742400007
x30=−27080.5352588129x_{30} = -27080.5352588129
x31=−22000.2151066455x_{31} = -22000.2151066455
x32=−35551.1229854431x_{32} = -35551.1229854431
x33=−31315.4583938655x_{33} = -31315.4583938655
x34=26364.7873046887x_{34} = 26364.7873046887
x35=35682.2923399652x_{35} = 35682.2923399652
x36=17054.0727890713x_{36} = 17054.0727890713
x37=−19461.1053261134x_{37} = -19461.1053261134
x38=−39787.2911195282x_{38} = -39787.2911195282
x39=−37245.5394793933x_{39} = -37245.5394793933
x40=33987.948889645x_{40} = 33987.948889645
x41=20438.407965441x_{41} = 20438.407965441
x42=32293.6966151394x_{42} = 32293.6966151394
x43=23824.4894070008x_{43} = 23824.4894070008
x44=−18614.9628542537x_{44} = -18614.9628542537
x45=−30468.4044913155x_{45} = -30468.4044913155
x46=17899.9377304071x_{46} = 17899.9377304071
x47=−40634.5712558898x_{47} = -40634.5712558898
x48=−36398.3219812329x_{48} = -36398.3219812329
x49=−38940.0251315873x_{49} = -38940.0251315873
x50=31446.6093012198x_{50} = 31446.6093012198
x51=−33009.6513327362x_{51} = -33009.6513327362
x52=30599.5507535406x_{52} = 30599.5507535406
x53=−32162.5414262391x_{53} = -32162.5414262391
x54=29752.5234454499x_{54} = 29752.5234454499
x55=−33856.7860849326x_{55} = -33856.7860849326
x56=18745.9619792899x_{56} = 18745.9619792899
x57=40765.7555726832x_{57} = 40765.7555726832
x58=39071.2051079002x_{58} = 39071.2051079002
x59=34835.1100536181x_{59} = 34835.1100536181
x60=−25386.8574184111x_{60} = -25386.8574184111
x61=24671.1973683243x_{61} = 24671.1973683243
x62=28058.5739476865x_{62} = 28058.5739476865
x63=33140.8104766164x_{63} = 33140.8104766164
x64=−42329.1705632733x_{64} = -42329.1705632733
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2.78584127589035,∞)\left[2.78584127589035, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2.78584127589035]\left(-\infty, -2.78584127589035\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(3x)=0\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞sin⁡(3x)=0\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(3/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(3x)=−sin⁡(3x)\sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = - \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}
- No
sin⁡(3x)=sin⁡(3x)\sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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