Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*(x-4)
-
(x^3+16)/x
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
(x+2)/(x-4)
- Derivada de:
-
sin(3/x)
- Límite de la función:
-
sin(3/x)
-
Expresiones idénticas
- sin(tres /x)
- seno de (3 dividir por x)
- seno de (tres dividir por x)
- sin3/x
- sin(3 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- y=sin3/x
- sin(xsin3/x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^4+cos(x)^4
- sin(x)+5*cos(x)
- sin(x^(3)+x)
- sin(x)*3
- sin(cos(3*x))^(2)+2*pi
Gráfico de la función y = sin(3/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/3\
f(x) = sin|-|
\x/
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}$$
f = sin(3/x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.954929658551372$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.954929658551372$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 \cos{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{\pi}$$
$$x_{2} = \frac{6}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{\pi}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{6}{\pi}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{\pi}, \frac{6}{\pi}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{\pi}\right] \cup \left[\frac{6}{\pi}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 \cos{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{\pi}$$
$$x_{2} = \frac{6}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 (--, -1) pi
6 (--, 1) pi
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{\pi}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{6}{\pi}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{\pi}, \frac{6}{\pi}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{\pi}\right] \cup \left[\frac{6}{\pi}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 \left(2 \cos{\left(\frac{3}{x} \right)} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -28774.3944374859$$
$$x_{2} = -23693.4001911576$$
$$x_{3} = -2.78584127589035$$
$$x_{4} = -24540.0983450048$$
$$x_{5} = 41613.0509604376$$
$$x_{6} = 28905.5301426331$$
$$x_{7} = 21284.7976258594$$
$$x_{8} = -34703.9438537314$$
$$x_{9} = 36529.4942720678$$
$$x_{10} = -29621.3822343593$$
$$x_{11} = -27927.444259667$$
$$x_{12} = -16923.1234128838$$
$$x_{13} = 25517.9652775594$$
$$x_{14} = -22846.769805684$$
$$x_{15} = -20307.3711482558$$
$$x_{16} = 38223.9518251469$$
$$x_{17} = 22131.2811702828$$
$$x_{18} = -41481.8646705299$$
$$x_{19} = 39918.4733355449$$
$$x_{20} = 27211.6583531168$$
$$x_{21} = 37376.7145079259$$
$$x_{22} = 22977.8480941884$$
$$x_{23} = -17768.9616772321$$
$$x_{24} = 2.78584127589035$$
$$x_{25} = 19592.1245411985$$
$$x_{26} = -26233.6714569158$$
$$x_{27} = 42460.3587087778$$
$$x_{28} = -21153.7452990655$$
$$x_{29} = -38092.7742400007$$
$$x_{30} = -27080.5352588129$$
$$x_{31} = -22000.2151066455$$
$$x_{32} = -35551.1229854431$$
$$x_{33} = -31315.4583938655$$
$$x_{34} = 26364.7873046887$$
$$x_{35} = 35682.2923399652$$
$$x_{36} = 17054.0727890713$$
$$x_{37} = -19461.1053261134$$
$$x_{38} = -39787.2911195282$$
$$x_{39} = -37245.5394793933$$
$$x_{40} = 33987.948889645$$
$$x_{41} = 20438.407965441$$
$$x_{42} = 32293.6966151394$$
$$x_{43} = 23824.4894070008$$
$$x_{44} = -18614.9628542537$$
$$x_{45} = -30468.4044913155$$
$$x_{46} = 17899.9377304071$$
$$x_{47} = -40634.5712558898$$
$$x_{48} = -36398.3219812329$$
$$x_{49} = -38940.0251315873$$
$$x_{50} = 31446.6093012198$$
$$x_{51} = -33009.6513327362$$
$$x_{52} = 30599.5507535406$$
$$x_{53} = -32162.5414262391$$
$$x_{54} = 29752.5234454499$$
$$x_{55} = -33856.7860849326$$
$$x_{56} = 18745.9619792899$$
$$x_{57} = 40765.7555726832$$
$$x_{58} = 39071.2051079002$$
$$x_{59} = 34835.1100536181$$
$$x_{60} = -25386.8574184111$$
$$x_{61} = 24671.1973683243$$
$$x_{62} = 28058.5739476865$$
$$x_{63} = 33140.8104766164$$
$$x_{64} = -42329.1705632733$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2.78584127589035, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.78584127589035\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 \left(2 \cos{\left(\frac{3}{x} \right)} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -28774.3944374859$$
$$x_{2} = -23693.4001911576$$
$$x_{3} = -2.78584127589035$$
$$x_{4} = -24540.0983450048$$
$$x_{5} = 41613.0509604376$$
$$x_{6} = 28905.5301426331$$
$$x_{7} = 21284.7976258594$$
$$x_{8} = -34703.9438537314$$
$$x_{9} = 36529.4942720678$$
$$x_{10} = -29621.3822343593$$
$$x_{11} = -27927.444259667$$
$$x_{12} = -16923.1234128838$$
$$x_{13} = 25517.9652775594$$
$$x_{14} = -22846.769805684$$
$$x_{15} = -20307.3711482558$$
$$x_{16} = 38223.9518251469$$
$$x_{17} = 22131.2811702828$$
$$x_{18} = -41481.8646705299$$
$$x_{19} = 39918.4733355449$$
$$x_{20} = 27211.6583531168$$
$$x_{21} = 37376.7145079259$$
$$x_{22} = 22977.8480941884$$
$$x_{23} = -17768.9616772321$$
$$x_{24} = 2.78584127589035$$
$$x_{25} = 19592.1245411985$$
$$x_{26} = -26233.6714569158$$
$$x_{27} = 42460.3587087778$$
$$x_{28} = -21153.7452990655$$
$$x_{29} = -38092.7742400007$$
$$x_{30} = -27080.5352588129$$
$$x_{31} = -22000.2151066455$$
$$x_{32} = -35551.1229854431$$
$$x_{33} = -31315.4583938655$$
$$x_{34} = 26364.7873046887$$
$$x_{35} = 35682.2923399652$$
$$x_{36} = 17054.0727890713$$
$$x_{37} = -19461.1053261134$$
$$x_{38} = -39787.2911195282$$
$$x_{39} = -37245.5394793933$$
$$x_{40} = 33987.948889645$$
$$x_{41} = 20438.407965441$$
$$x_{42} = 32293.6966151394$$
$$x_{43} = 23824.4894070008$$
$$x_{44} = -18614.9628542537$$
$$x_{45} = -30468.4044913155$$
$$x_{46} = 17899.9377304071$$
$$x_{47} = -40634.5712558898$$
$$x_{48} = -36398.3219812329$$
$$x_{49} = -38940.0251315873$$
$$x_{50} = 31446.6093012198$$
$$x_{51} = -33009.6513327362$$
$$x_{52} = 30599.5507535406$$
$$x_{53} = -32162.5414262391$$
$$x_{54} = 29752.5234454499$$
$$x_{55} = -33856.7860849326$$
$$x_{56} = 18745.9619792899$$
$$x_{57} = 40765.7555726832$$
$$x_{58} = 39071.2051079002$$
$$x_{59} = 34835.1100536181$$
$$x_{60} = -25386.8574184111$$
$$x_{61} = 24671.1973683243$$
$$x_{62} = 28058.5739476865$$
$$x_{63} = 33140.8104766164$$
$$x_{64} = -42329.1705632733$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
True
True
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2.78584127589035, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.78584127589035\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(3/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = - \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}$$
- No
$$\sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = - \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}$$
- No
$$\sin{\left(\frac{3}{x} \right)} = \sin{\left(\frac{3}{x} \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar