Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(x+cos(x))^(2)

Gráfico de la función y = log(x+cos(x))^(2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2            
f(x) = log (x + cos(x))
f(x)=log⁡(x+cos⁡(x))2f{\left(x \right)} = \log{\left(x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2} 
f = log(x + cos(x))^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+cos⁡(x))2=0\log{\left(x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + cos(x))^2.
log⁡(cos⁡(0))2\log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(1−sin⁡(x))log⁡(x+cos⁡(x))x+cos⁡(x)=0\frac{2 \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) \log{\left(x + \cos{\left(x \right)} \right)}}{x + \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=51.8362787484488x_{1} = 51.8362787484488
x2=26.7035380386609x_{2} = 26.7035380386609
x3=58.1194644829762x_{3} = 58.1194644829762
x4=45.5530927831827x_{4} = 45.5530927831827
x5=32.9867225152343x_{5} = 32.9867225152343
x6=14.1371671099317x_{6} = 14.1371671099317
x7=76.9690196726741x_{7} = 76.9690196726741
x8=89.5353895612798x_{8} = 89.5353895612798
x9=58.1194636246347x_{9} = 58.1194636246347
x10=45.5530937305576x_{10} = 45.5530937305576
x11=102.101760780758x_{11} = 102.101760780758
x12=14.137167252601x_{12} = 14.137167252601
x13=14.1371664038003x_{13} = 14.1371664038003
x14=20.4203521477602x_{14} = 20.4203521477602
x15=89.535390888462x_{15} = 89.535390888462
x16=95.8185760629457x_{16} = 95.8185760629457
x17=64.4026491797743x_{17} = 64.4026491797743
x18=20.420351906482x_{18} = 20.420351906482
x19=20.4203527236016x_{19} = 20.4203527236016
x20=39.2699077301908x_{20} = 39.2699077301908
x21=32.9867229292803x_{21} = 32.9867229292803
x22=51.8362789031396x_{22} = 51.8362789031396
x23=70.6858355184073x_{23} = 70.6858355184073
x24=51.8362782619485x_{24} = 51.8362782619485
x25=76.9690204658648x_{25} = 76.9690204658648
x26=83.2522056900431x_{26} = 83.2522056900431
x27=7.85398174303158x_{27} = 7.85398174303158
x28=39.2699085330189x_{28} = 39.2699085330189
x29=26.7035373219674x_{29} = 26.7035373219674
x30=45.553092974579x_{30} = 45.553092974579
x31=64.4026498955847x_{31} = 64.4026498955847
x32=70.6858352068472x_{32} = 70.6858352068472
x33=64.4026493072084x_{33} = 64.4026493072084
x34=95.8185754182741x_{34} = 95.8185754182741
x35=58.1194643976375x_{35} = 58.1194643976375
x36=7.85398105644765x_{36} = 7.85398105644765
x37=26.7035380469869x_{37} = 26.7035380469869
x38=70.6858344801024x_{38} = 70.6858344801024
x39=89.5353901311488x_{39} = 89.5353901311488
x40=0x_{40} = 0
x41=7.85398100200865x_{41} = 7.85398100200865
x42=32.9867233088188x_{42} = 32.9867233088188
x43=76.9690185993919x_{43} = 76.9690185993919
x44=95.8185759157059x_{44} = 95.8185759157059
x45=1.57079658193146x_{45} = 1.57079658193146
x46=83.2522048871187x_{46} = 83.2522048871187
x47=95.8185759149481x_{47} = 95.8185759149481
Signos de extremos en los puntos:
(51.836278748448834, 15.587416754453)

(26.703538038660888, 10.7898850857969)

(58.1194644829762, 16.5039112707115)

(45.55309278318271, 14.5838332671912)

(32.98672251523427, 12.2227511710011)

(14.13716710993166, 7.01618002049081)

(76.96901967267411, 18.8651496499448)

(89.53538956127977, 20.2017345523605)

(58.11946362463473, 16.5039112707115)

(45.55309373055761, 14.5838332671912)

(102.10176078075834, 21.399598211314)

(14.137167252600996, 7.01618002049081)

(14.137166403800302, 7.01618002049081)

(20.420352147760198, 9.09946568560475)

(89.53539088846202, 20.2017345523605)

(95.81857606294568, 20.816009948234)

(64.40264917977434, 17.3485142746624)

(20.420351906482004, 9.09946568560475)

(20.42035272360159, 9.09946568560475)

(39.269907730190766, 13.4722658216071)

(32.986722929280326, 12.2227511710011)

(51.83627890313957, 15.587416754453)

(70.68583551840732, 18.1326521412497)

(51.83627826194846, 15.587416754453)

(76.96902046586484, 18.8651496499448)

(83.25220569004313, 19.5529751447553)

(7.853981743031583, 4.24780598668158)

(39.26990853301895, 13.4722658216071)

(26.703537321967385, 10.7898850857969)

(45.55309297457897, 14.5838332671912)

(64.40264989558474, 17.3485142746624)

(70.68583520684716, 18.1326521412497)

(64.4026493072084, 17.3485142746624)

(95.8185754182741, 20.816009948234)

(58.11946439763751, 16.5039112707115)

(7.85398105644765, 4.24780598668158)

(26.703538046986868, 10.7898850857969)

(70.68583448010244, 18.1326521412497)

(89.53539013114877, 20.2017345523605)

(0, 0)

(7.853981002008651, 4.24780598668158)

(32.98672330881879, 12.2227511710011)

(76.96901859939186, 18.8651496499448)

(95.81857591570592, 20.816009948234)

(1.5707965819314598, 0.203926939716543)

(83.25220488711868, 19.5529751447553)

(95.81857591494808, 20.816009948234)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(x+cos⁡(x))2=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(x+cos⁡(x))2=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + cos(x))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(log⁡(x+cos⁡(x))2x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(log⁡(x+cos⁡(x))2x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+cos⁡(x))2=log⁡(−x+cos⁡(x))2\log{\left(x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2} = \log{\left(- x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2}
- No
log⁡(x+cos⁡(x))2=−log⁡(−x+cos⁡(x))2\log{\left(x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2} = - \log{\left(- x + \cos{\left(x \right)} \right)}^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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