Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/sin(x)*cos(x)

Gráfico de la función y = 1/sin(x)*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       cos(x)
f(x) = ------
       sin(x)
f(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} 
f = cos(x)/sin(x)
Gráfico de la función
-2.0-1.5-1.0-0.52.00.00.51.01.5-1000010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−1.5707963267949x_{1} = -1.5707963267949
x2=−64.4026493985908x_{2} = -64.4026493985908
x3=76.9690200129499x_{3} = 76.9690200129499
x4=−23.5619449019235x_{4} = -23.5619449019235
x5=−58.1194640914112x_{5} = -58.1194640914112
x6=61.261056745001x_{6} = 61.261056745001
x7=80.1106126665397x_{7} = 80.1106126665397
x8=−48.6946861306418x_{8} = -48.6946861306418
x9=−29.845130209103x_{9} = -29.845130209103
x10=−4.71238898038469x_{10} = -4.71238898038469
x11=−86.3937979737193x_{11} = -86.3937979737193
x12=−36.1283155162826x_{12} = -36.1283155162826
x13=−98.9601685880785x_{13} = -98.9601685880785
x14=1.5707963267949x_{14} = 1.5707963267949
x15=−39.2699081698724x_{15} = -39.2699081698724
x16=73.8274273593601x_{16} = 73.8274273593601
x17=−92.6769832808989x_{17} = -92.6769832808989
x18=42.4115008234622x_{18} = 42.4115008234622
x19=67.5442420521806x_{19} = 67.5442420521806
x20=−32.9867228626928x_{20} = -32.9867228626928
x21=14.1371669411541x_{21} = 14.1371669411541
x22=4.71238898038469x_{22} = 4.71238898038469
x23=32.9867228626928x_{23} = 32.9867228626928
x24=−10.9955742875643x_{24} = -10.9955742875643
x25=70.6858347057703x_{25} = 70.6858347057703
x26=36.1283155162826x_{26} = 36.1283155162826
x27=20.4203522483337x_{27} = 20.4203522483337
x28=−70.6858347057703x_{28} = -70.6858347057703
x29=−26.7035375555132x_{29} = -26.7035375555132
x30=10.9955742875643x_{30} = 10.9955742875643
x31=23.5619449019235x_{31} = 23.5619449019235
x32=45.553093477052x_{32} = 45.553093477052
x33=83.2522053201295x_{33} = 83.2522053201295
x34=−67.5442420521806x_{34} = -67.5442420521806
x35=−89.5353906273091x_{35} = -89.5353906273091
x36=−54.9778714378214x_{36} = -54.9778714378214
x37=95.8185759344887x_{37} = 95.8185759344887
x38=−17.2787595947439x_{38} = -17.2787595947439
x39=26.7035375555132x_{39} = 26.7035375555132
x40=17.2787595947439x_{40} = 17.2787595947439
x41=−42.4115008234622x_{41} = -42.4115008234622
x42=54.9778714378214x_{42} = 54.9778714378214
x43=−7.85398163397448x_{43} = -7.85398163397448
x44=48.6946861306418x_{44} = 48.6946861306418
x45=−51.8362787842316x_{45} = -51.8362787842316
x46=89.5353906273091x_{46} = 89.5353906273091
x47=92.6769832808989x_{47} = 92.6769832808989
x48=58.1194640914112x_{48} = 58.1194640914112
x49=−80.1106126665397x_{49} = -80.1106126665397
x50=−73.8274273593601x_{50} = -73.8274273593601
x51=86.3937979737193x_{51} = 86.3937979737193
x52=−76.9690200129499x_{52} = -76.9690200129499
x53=51.8362787842316x_{53} = 51.8362787842316
x54=39.2699081698724x_{54} = 39.2699081698724
x55=−20.4203522483337x_{55} = -20.4203522483337
x56=64.4026493985908x_{56} = 64.4026493985908
x57=−83.2522053201295x_{57} = -83.2522053201295
x58=98.9601685880785x_{58} = 98.9601685880785
x59=7.85398163397448x_{59} = 7.85398163397448
x60=−95.8185759344887x_{60} = -95.8185759344887
x61=−14.1371669411541x_{61} = -14.1371669411541
x62=29.845130209103x_{62} = 29.845130209103
x63=−45.553093477052x_{63} = -45.553093477052
x64=−61.261056745001x_{64} = -61.261056745001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)/sin(x).
cos⁡(0)sin⁡(0)\frac{\cos{\left(0 \right)}}{\sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1−cos⁡2(x)sin⁡2(x)=0-1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\left(2 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979

lim⁡x→0−((2+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+((2+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡(x))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→3.14159265358979−((2+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡(x))=−1.08892367577758⋅1048\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{\left(2 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = -1.08892367577758 \cdot 10^{48}
lim⁡x→3.14159265358979+((2+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡(x))=−1.08892367577758⋅1048\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{\left(2 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = -1.08892367577758 \cdot 10^{48}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(cos⁡(x)sin⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(cos⁡(x)sin⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cos⁡(x)xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cos⁡(x)xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)sin⁡(x)=−cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
- No
cos⁡(x)sin⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
- Sí
es decir, función
es
impar
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