Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
4*x*log(x)/(1-log(x^2))
-
(4x^3)/((x^3)-1)
-
Expresiones idénticas
- sin(x+ uno)*sin(x)
- seno de (x más 1) multiplicar por seno de (x)
- seno de (x más uno) multiplicar por seno de (x)
- sin(x+1)sin(x)
- sinx+1sinx
-
Expresiones semejantes
- sin(x-1)*sin(x)
- sin(x+1)*sinx
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(cos(4*x)^3)^2
- sin(x)+(sin(x))^2
- sin(x)^2+2*x*cos(x)*sin(x)
- sin(x)-1+cos(x)
- sin(4*a)-cos(4*a)+cos(2*a)
- Seno sin
- sin(cos(4*x)^3)^2
- sin(x)+(sin(x))^2
- sin(x)^2+2*x*cos(x)*sin(x)
- sin(x)-1+cos(x)
- sin(4*a)-cos(4*a)+cos(2*a)
Gráfico de la función y = sin(x+1)*sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = sin(x + 1)*sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)}$$
f = sin(x)*sin(x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -41.8407044966673$$
$$x_{2} = -34.5575191894877$$
$$x_{3} = -29.2743338823081$$
$$x_{4} = -92.106186954104$$
$$x_{5} = -73.2566310325652$$
$$x_{6} = -59.6902604182061$$
$$x_{7} = 21.9911485751286$$
$$x_{8} = 43.9822971502571$$
$$x_{9} = 15.707963267949$$
$$x_{10} = -48.1238898038469$$
$$x_{11} = 37.6991118430775$$
$$x_{12} = -26.1327412287183$$
$$x_{13} = 53.4070751110265$$
$$x_{14} = -19.8495559215388$$
$$x_{15} = -100.530964914873$$
$$x_{16} = -44.9822971502571$$
$$x_{17} = -12.5663706143592$$
$$x_{18} = -6.28318530717959$$
$$x_{19} = 78.5398163397448$$
$$x_{20} = -79.5398163397448$$
$$x_{21} = 14.707963267949$$
$$x_{22} = 83.8230016469244$$
$$x_{23} = 61.8318530717959$$
$$x_{24} = -70.1150383789755$$
$$x_{25} = 68.1150383789755$$
$$x_{26} = -95.2477796076938$$
$$x_{27} = -695.291976443344$$
$$x_{28} = -63.8318530717959$$
$$x_{29} = 94.2477796076938$$
$$x_{30} = 12.5663706143592$$
$$x_{31} = 31.4159265358979$$
$$x_{32} = 17.8495559215388$$
$$x_{33} = 39.8407044966673$$
$$x_{34} = 81.6814089933346$$
$$x_{35} = 2.14159265358979$$
$$x_{36} = -72.2566310325652$$
$$x_{37} = -51.2654824574367$$
$$x_{38} = 0$$
$$x_{39} = 75.398223686155$$
$$x_{40} = -50.2654824574367$$
$$x_{41} = -81.6814089933346$$
$$x_{42} = 9.42477796076938$$
$$x_{43} = -7.28318530717959$$
$$x_{44} = -87.9645943005142$$
$$x_{45} = 6.28318530717959$$
$$x_{46} = 96.3893722612836$$
$$x_{47} = -66.9734457253857$$
$$x_{48} = -37.6991118430775$$
$$x_{49} = 36.6991118430775$$
$$x_{50} = 52.4070751110265$$
$$x_{51} = 34.5575191894877$$
$$x_{52} = 65.9734457253857$$
$$x_{53} = -28.2743338823081$$
$$x_{54} = 72.2566310325652$$
$$x_{55} = 90.106186954104$$
$$x_{56} = -22.9911485751286$$
$$x_{57} = -78.5398163397448$$
$$x_{58} = -43.9822971502571$$
$$x_{59} = -85.8230016469244$$
$$x_{60} = 46.1238898038469$$
$$x_{61} = 74.398223686155$$
$$x_{62} = 58.6902604182061$$
$$x_{63} = -4.14159265358979$$
$$x_{64} = 87.9645943005142$$
$$x_{65} = 59.6902604182061$$
$$x_{66} = -255.469004940773$$
$$x_{67} = 100.530964914873$$
$$x_{68} = -35.5575191894877$$
$$x_{69} = 28.2743338823081$$
$$x_{70} = 97.3893722612836$$
$$x_{71} = -94.2477796076938$$
$$x_{72} = -56.5486677646163$$
$$x_{73} = -57.5486677646163$$
$$x_{74} = -21.9911485751286$$
$$x_{75} = 80.6814089933346$$
$$x_{76} = 56.5486677646163$$
$$x_{77} = -65.9734457253857$$
$$x_{78} = -924.628240155399$$
$$x_{79} = -13.5663706143592$$
$$x_{80} = -15.707963267949$$
$$x_{81} = 84.8230016469244$$
$$x_{82} = 30.4159265358979$$
$$x_{83} = 24.1327412287183$$
$$x_{84} = 50.2654824574367$$
$$x_{85} = 8.42477796076938$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -41.8407044966673$$
$$x_{2} = -34.5575191894877$$
$$x_{3} = -29.2743338823081$$
$$x_{4} = -92.106186954104$$
$$x_{5} = -73.2566310325652$$
$$x_{6} = -59.6902604182061$$
$$x_{7} = 21.9911485751286$$
$$x_{8} = 43.9822971502571$$
$$x_{9} = 15.707963267949$$
$$x_{10} = -48.1238898038469$$
$$x_{11} = 37.6991118430775$$
$$x_{12} = -26.1327412287183$$
$$x_{13} = 53.4070751110265$$
$$x_{14} = -19.8495559215388$$
$$x_{15} = -100.530964914873$$
$$x_{16} = -44.9822971502571$$
$$x_{17} = -12.5663706143592$$
$$x_{18} = -6.28318530717959$$
$$x_{19} = 78.5398163397448$$
$$x_{20} = -79.5398163397448$$
$$x_{21} = 14.707963267949$$
$$x_{22} = 83.8230016469244$$
$$x_{23} = 61.8318530717959$$
$$x_{24} = -70.1150383789755$$
$$x_{25} = 68.1150383789755$$
$$x_{26} = -95.2477796076938$$
$$x_{27} = -695.291976443344$$
$$x_{28} = -63.8318530717959$$
$$x_{29} = 94.2477796076938$$
$$x_{30} = 12.5663706143592$$
$$x_{31} = 31.4159265358979$$
$$x_{32} = 17.8495559215388$$
$$x_{33} = 39.8407044966673$$
$$x_{34} = 81.6814089933346$$
$$x_{35} = 2.14159265358979$$
$$x_{36} = -72.2566310325652$$
$$x_{37} = -51.2654824574367$$
$$x_{38} = 0$$
$$x_{39} = 75.398223686155$$
$$x_{40} = -50.2654824574367$$
$$x_{41} = -81.6814089933346$$
$$x_{42} = 9.42477796076938$$
$$x_{43} = -7.28318530717959$$
$$x_{44} = -87.9645943005142$$
$$x_{45} = 6.28318530717959$$
$$x_{46} = 96.3893722612836$$
$$x_{47} = -66.9734457253857$$
$$x_{48} = -37.6991118430775$$
$$x_{49} = 36.6991118430775$$
$$x_{50} = 52.4070751110265$$
$$x_{51} = 34.5575191894877$$
$$x_{52} = 65.9734457253857$$
$$x_{53} = -28.2743338823081$$
$$x_{54} = 72.2566310325652$$
$$x_{55} = 90.106186954104$$
$$x_{56} = -22.9911485751286$$
$$x_{57} = -78.5398163397448$$
$$x_{58} = -43.9822971502571$$
$$x_{59} = -85.8230016469244$$
$$x_{60} = 46.1238898038469$$
$$x_{61} = 74.398223686155$$
$$x_{62} = 58.6902604182061$$
$$x_{63} = -4.14159265358979$$
$$x_{64} = 87.9645943005142$$
$$x_{65} = 59.6902604182061$$
$$x_{66} = -255.469004940773$$
$$x_{67} = 100.530964914873$$
$$x_{68} = -35.5575191894877$$
$$x_{69} = 28.2743338823081$$
$$x_{70} = 97.3893722612836$$
$$x_{71} = -94.2477796076938$$
$$x_{72} = -56.5486677646163$$
$$x_{73} = -57.5486677646163$$
$$x_{74} = -21.9911485751286$$
$$x_{75} = 80.6814089933346$$
$$x_{76} = 56.5486677646163$$
$$x_{77} = -65.9734457253857$$
$$x_{78} = -924.628240155399$$
$$x_{79} = -13.5663706143592$$
$$x_{80} = -15.707963267949$$
$$x_{81} = 84.8230016469244$$
$$x_{82} = 30.4159265358979$$
$$x_{83} = 24.1327412287183$$
$$x_{84} = 50.2654824574367$$
$$x_{85} = 8.42477796076938$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x + 1 \right)} + \sin{\left(x + 1 \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \sqrt{- e^{- i}} \right)}$$
$$x_{3} = - \frac{i \log{\left(- e^{- i} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- e^{- \frac{i}{2}} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x + 1 \right)} + \sin{\left(x + 1 \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \sqrt{- e^{- i}} \right)}$$
$$x_{3} = - \frac{i \log{\left(- e^{- i} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- e^{- \frac{i}{2}} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 (-1/2, -sin (1/2))
/ ______\ / / ______\\ / / ______\\
| / -I | | | / -I || | | / -I ||
(-I*log\-\/ -e /, -sin\I*log\-\/ -e //*sin\1 - I*log\-\/ -e //) / -I\ / / -I\\ / / -I\\
-I*log\-e / |I*log\-e /| | I*log\-e /|
(-------------, sin|-----------|*sin|-1 + -----------|)
2 \ 2 / \ 2 / / -I \ / / -I \\ / / -I \\
| ---| | | ---|| | | ---||
| 2 | | | 2 || | | 2 ||
(-I*log\-e /, sin\I*log\-e //*sin\-1 + I*log\-e //)Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- \frac{i \left(2 + \pi\right)}{4}} \right)}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\operatorname{im}{\left(e^{- \frac{i}{2}} e^{- \frac{i \pi}{4}}\right)}}{\operatorname{re}{\left(e^{- \frac{i}{2}} e^{- \frac{i \pi}{4}}\right)}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- \frac{i \left(2 + \pi\right)}{4}} \right)}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\operatorname{im}{\left(e^{- \frac{i}{2}} e^{- \frac{i \pi}{4}}\right)}}{\operatorname{re}{\left(e^{- \frac{i}{2}} e^{- \frac{i \pi}{4}}\right)}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x + 1)*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)} = \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x - 1 \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)} = - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x - 1 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)} = \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x - 1 \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + 1 \right)} = - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x - 1 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar