Gráfico de la función y = sin(4*a)-cos(4*a)+cos(2*a)

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f(a) = sin(4*a) - cos(4*a) + cos(2*a)

f{\left(a \right)} = \left(\sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(4 a \right)}\right) + \cos{\left(2 a \right)}

f = sin(4*a) - cos(4*a) + cos(2*a)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje A con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\left(\sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(4 a \right)}\right) + \cos{\left(2 a \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje A:

Solución analítica

a_{1} = 0

a_{2} = \pi

Solución numérica

a_{1} = 34.0706943074751

a_{2} = -64.0611580490107

a_{3} = -13.795675591574

a_{4} = -39.9099728008373

a_{5} = -51.4947874346515

a_{6} = 96.1600672840687

a_{7} = -72.2566310325652

a_{8} = 84.3361767649118

a_{9} = 19.7802876173688

a_{10} = -59.6902604182061

a_{11} = 76.3289553819851

a_{12} = 80.4521040161198

a_{13} = 72.2566310325652

a_{14} = -2.21086095775973

a_{15} = 56.0618428826036

a_{16} = 10.3555096565994

a_{17} = 94.2477796076938

a_{18} = -57.7779727418311

a_{19} = -47.6107146858595

a_{20} = 4.07232434941985

a_{21} = 37.2122869610649

a_{22} = -87.9645943005142

a_{23} = 45.894584826632

a_{24} = -68.1843066831454

a_{25} = -3.62841753560244

a_{26} = 0

a_{27} = -17.9188242257087

a_{28} = 12.0795457323465

a_{29} = 100.044140032861

a_{30} = 50.2654824574367

a_{31} = -31.9027514179106

a_{32} = 48.054621499677

a_{33} = -35.7868241667026

a_{34} = 70.0457700748055

a_{35} = 14.4786582907341

a_{36} = -79.7691213169597

a_{37} = 30.1866215586831

a_{38} = 85.7537333427545

a_{39} = -21.9911485751286

a_{40} = -7.51249028439444

a_{41} = 36.4698068658627

a_{42} = 23.9034362515035

a_{43} = 78.0529914577322

a_{44} = 59.2034355361934

a_{45} = -83.8922699510944

a_{46} = 87.9645943005142

a_{47} = 52.1777701338116

a_{48} = -61.9011213759658

a_{49} = -29.503638859523

a_{50} = -77.6090846439148

a_{51} = 32.346658231728

a_{52} = -46.1931581080168

a_{53} = 15.2211383859363

a_{54} = -43.9822971502571

a_{55} = -37.6991118430775

a_{56} = -65.9734457253857

a_{57} = 41.7714361924974

a_{58} = 63.7625847676259

a_{59} = 6.28318530717959

a_{60} = 89.8768819768892

a_{61} = 28.2743338823081

a_{62} = -91.5930118361167

a_{63} = 8.19547298355452

a_{64} = -6.77001018919224

a_{65} = -94.2477796076938

a_{66} = -99.6002332190433

a_{67} = -24.2020095328883

a_{68} = -33.6267874936577

a_{69} = -25.619566110731

a_{70} = 43.9822971502571

a_{71} = 40.3538796146547

a_{72} = 54.3378068068565

a_{73} = 65.9734457253857

a_{74} = 18.3627310395261

a_{75} = -11.6356389185291

a_{76} = -15.707963267949

a_{77} = -50.2654824574367

a_{78} = -90.1754552582739

a_{79} = 26.0634729245484

a_{80} = 62.3450281897832

a_{81} = -20.0788608987536

a_{82} = 58.4609554409912

a_{83} = -55.6179360687862

a_{84} = -95.4770845849087

a_{85} = -9.91160284278203

a_{86} = 98.3201039571136

a_{87} = 74.1689187089402

a_{88} = 21.9911485751286

a_{89} = -86.0523066241393

a_{90} = -42.0700094738822

a_{91} = -73.4859360097801

a_{92} = 1.91228767637494

a_{93} = -28.2743338823081

a_{94} = 67.8857334017606

a_{95} = -97.8761971432962

a_{96} = 92.0369186499341

a_{97} = -69.6018632609881

a_{98} = -53.8938999930391

a_{99} = -81.6814089933346

a_{100} = -75.8850485681677

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando a es igual a 0:
sustituimos a = 0 en sin(4*a) - cos(4*a) + cos(2*a).

\left(- \cos{\left(0 \cdot 4 \right)} + \sin{\left(0 \cdot 4 \right)}\right) + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 0

Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d a} f{\left(a \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d a} f{\left(a \right)} =

- 2 \sin{\left(2 a \right)} + 4 \sin{\left(4 a \right)} + 4 \cos{\left(4 a \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d a^{2}} f{\left(a \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d a^{2}} f{\left(a \right)} =

4 \left(- 4 \sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(2 a \right)} + 4 \cos{\left(4 a \right)}\right) = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con a->+oo y a->-oo

\lim_{a \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(4 a \right)}\right) + \cos{\left(2 a \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = \left\langle -3, 3\right\rangle

\lim_{a \to \infty}\left(\left(\sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(4 a \right)}\right) + \cos{\left(2 a \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = \left\langle -3, 3\right\rangle

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(4*a) - cos(4*a) + cos(2*a), dividida por a con a->+oo y a ->-oo

\lim_{a \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(4 a \right)}\right) + \cos{\left(2 a \right)}}{a}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{a \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(4 a \right)}\right) + \cos{\left(2 a \right)}}{a}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-a) и f = -f(-a).
Pues, comprobamos:

\left(\sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(4 a \right)}\right) + \cos{\left(2 a \right)} = - \sin{\left(4 a \right)} + \cos{\left(2 a \right)} - \cos{\left(4 a \right)}

- No

\left(\sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(4 a \right)}\right) + \cos{\left(2 a \right)} = \sin{\left(4 a \right)} - \cos{\left(2 a \right)} + \cos{\left(4 a \right)}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico de la función y = sin(4a)-cos(4a)+cos(2*a)