Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(x/2)*cos^2(x/2)

Gráfico de la función y = sin(x/2)*cos^2(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\    2/x\
f(x) = sin|-|*cos |-|
          \2/     \2/
f(x)=sin⁡(x2)cos⁡2(x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = sin(x/2)*cos(x/2)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.0-1.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x2)cos⁡2(x2)=0\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−πx_{2} = - \pi
x3=πx_{3} = \pi
Solución numérica
x1=−18.8495559215388x_{1} = -18.8495559215388
x2=97.3893725487082x_{2} = 97.3893725487082
x3=−47.1238900796845x_{3} = -47.1238900796845
x4=−59.690260457721x_{4} = -59.690260457721
x5=53.4070748643638x_{5} = 53.4070748643638
x6=−56.5486677646163x_{6} = -56.5486677646163
x7=−31.4159265358979x_{7} = -31.4159265358979
x8=−97.3893725197317x_{8} = -97.3893725197317
x9=0x_{9} = 0
x10=−53.4070754674785x_{10} = -53.4070754674785
x11=91.1061872775425x_{11} = 91.1061872775425
x12=−94.2477796076938x_{12} = -94.2477796076938
x13=−25.1327412287183x_{13} = -25.1327412287183
x14=87.9645943005142x_{14} = 87.9645943005142
x15=34.5575185962198x_{15} = 34.5575185962198
x16=−53.4070752893571x_{16} = -53.4070752893571
x17=−50.2654824574367x_{17} = -50.2654824574367
x18=−43.9822971502571x_{18} = -43.9822971502571
x19=50.2654824574367x_{19} = 50.2654824574367
x20=34.5575190261676x_{20} = 34.5575190261676
x21=−3.14159292467624x_{21} = -3.14159292467624
x22=28.2743338651903x_{22} = 28.2743338651903
x23=−65.9734457649725x_{23} = -65.9734457649725
x24=−91.1061866761793x_{24} = -91.1061866761793
x25=−3.14159239565195x_{25} = -3.14159239565195
x26=59.6902609969082x_{26} = 59.6902609969082
x27=47.123890127433x_{27} = 47.123890127433
x28=−34.557518916051x_{28} = -34.557518916051
x29=−47.12388953524x_{29} = -47.12388953524
x30=91.1061866390749x_{30} = 91.1061866390749
x31=12.5663706143592x_{31} = 12.5663706143592
x32=−81.6814089933346x_{32} = -81.6814089933346
x33=−40.8407048130561x_{33} = -40.8407048130561
x34=−34.5575194070503x_{34} = -34.5575194070503
x35=−91.1061872344816x_{35} = -91.1061872344816
x36=94.2477796076938x_{36} = 94.2477796076938
x37=81.6814089933346x_{37} = 81.6814089933346
x38=53.4070753939976x_{38} = 53.4070753939976
x39=84.8230018786881x_{39} = 84.8230018786881
x40=72.2566310277183x_{40} = 72.2566310277183
x41=15.7079634462463x_{41} = 15.7079634462463
x42=31.4159265358979x_{42} = 31.4159265358979
x43=40.8407047423983x_{43} = 40.8407047423983
x44=3.14159297692995x_{44} = 3.14159297692995
x45=−72.2566308699577x_{45} = -72.2566308699577
x46=−28.2743330936593x_{46} = -28.2743330936593
x47=84.8230005756266x_{47} = 84.8230005756266
x48=69.1150383789755x_{48} = 69.1150383789755
x49=−9.42477813166605x_{49} = -9.42477813166605
x50=−97.3893724469048x_{50} = -97.3893724469048
x51=37.6991118430775x_{51} = 37.6991118430775
x52=59.6902606040727x_{52} = 59.6902606040727
x53=−78.5398165394017x_{53} = -78.5398165394017
x54=−87.9645943005142x_{54} = -87.9645943005142
x55=62.8318530717959x_{55} = 62.8318530717959
x56=65.9734457529395x_{56} = 65.9734457529395
x57=40.8407042305363x_{57} = 40.8407042305363
x58=−6.28318530717959x_{58} = -6.28318530717959
x59=21.9911485852011x_{59} = 21.9911485852011
x60=−3.14159192272266x_{60} = -3.14159192272266
x61=25.1327412287183x_{61} = 25.1327412287183
x62=−21.9911485864466x_{62} = -21.9911485864466
x63=−40.8407041739456x_{63} = -40.8407041739456
x64=56.5486677646163x_{64} = 56.5486677646163
x65=47.1238894879615x_{65} = 47.1238894879615
x66=−100.530964914873x_{66} = -100.530964914873
x67=97.3893720028529x_{67} = 97.3893720028529
x68=−62.8318530717959x_{68} = -62.8318530717959
x69=−84.8230013251746x_{69} = -84.8230013251746
x70=−72.2566304035062x_{70} = -72.2566304035062
x71=−69.1150383789755x_{71} = -69.1150383789755
x72=43.9822971502571x_{72} = 43.9822971502571
x73=−37.6991118430775x_{73} = -37.6991118430775
x74=84.8230013859467x_{74} = 84.8230013859467
x75=15.7079639719867x_{75} = 15.7079639719867
x76=−59.6902609641181x_{76} = -59.6902609641181
x77=78.539815623306x_{77} = 78.539815623306
x78=−84.8230019629068x_{78} = -84.8230019629068
x79=−75.398223686155x_{79} = -75.398223686155
x80=9.42477772764248x_{80} = 9.42477772764248
x81=100.530964914873x_{81} = 100.530964914873
x82=9.42477823907602x_{82} = 9.42477823907602
x83=75.398223686155x_{83} = 75.398223686155
x84=6.28318530717959x_{84} = 6.28318530717959
x85=−78.5398160713785x_{85} = -78.5398160713785
x86=78.5398161841438x_{86} = 78.5398161841438
x87=−28.2743337117616x_{87} = -28.2743337117616
x88=18.8495559215388x_{88} = 18.8495559215388
x89=3.14159233724278x_{89} = 3.14159233724278
x90=−9.42477842977577x_{90} = -9.42477842977577
x91=−12.5663706143592x_{91} = -12.5663706143592
x92=−15.7079632965628x_{92} = -15.7079632965628
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x/2)*cos(x/2)^2.
sin⁡(02)cos⁡2(02)\sin{\left(\frac{0}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡2(x2)cos⁡(x2)+cos⁡3(x2)2=0- \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=πx_{2} = \pi
x3=−4atan⁡(5−26)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}
x4=4atan⁡(5−26)x_{4} = 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}
x5=−4atan⁡(26+5)x_{5} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}
x6=4atan⁡(26+5)x_{6} = 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(-pi, 0)

(pi, 0)

        /   _____________\       /      /   _____________\\    /      /   _____________\\ 
        |  /         ___ |      2|      |  /         ___ ||    |      |  /         ___ || 
(-4*atan\\/  5 - 2*\/ 6  /, -cos \2*atan\\/  5 - 2*\/ 6  //*sin\2*atan\\/  5 - 2*\/ 6  //)

       /   _____________\      /      /   _____________\\    /      /   _____________\\ 
       |  /         ___ |     2|      |  /         ___ ||    |      |  /         ___ || 
(4*atan\\/  5 - 2*\/ 6  /, cos \2*atan\\/  5 - 2*\/ 6  //*sin\2*atan\\/  5 - 2*\/ 6  //)

        /   _____________\       /      /   _____________\\    /      /   _____________\\ 
        |  /         ___ |      2|      |  /         ___ ||    |      |  /         ___ || 
(-4*atan\\/  5 + 2*\/ 6  /, -cos \2*atan\\/  5 + 2*\/ 6  //*sin\2*atan\\/  5 + 2*\/ 6  //)

       /   _____________\      /      /   _____________\\    /      /   _____________\\ 
       |  /         ___ |     2|      |  /         ___ ||    |      |  /         ___ || 
(4*atan\\/  5 + 2*\/ 6  /, cos \2*atan\\/  5 + 2*\/ 6  //*sin\2*atan\\/  5 + 2*\/ 6  //)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
x2=−4atan⁡(5−26)x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}
x3=−4atan⁡(26+5)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}
Puntos máximos de la función:
x3=−πx_{3} = - \pi
x3=4atan⁡(5−26)x_{3} = 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}
x3=4atan⁡(26+5)x_{3} = 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}
Decrece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−4atan⁡(26+5)]\left(-\infty, - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2sin⁡2(x2)−7cos⁡2(x2))sin⁡(x2)4=0\frac{\left(2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 7 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−4atan⁡(711−627)x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}}{7} \right)}
x3=4atan⁡(711−627)x_{3} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}}{7} \right)}
x4=−4atan⁡(762+117)x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \sqrt{6 \sqrt{2} + 11}}{7} \right)}
x5=4atan⁡(762+117)x_{5} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \sqrt{6 \sqrt{2} + 11}}{7} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4atan⁡(711−627),∞)\left[4 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}}{7} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−4atan⁡(711−627)]\left(-\infty, - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}}{7} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2)cos⁡2(x2))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x2)cos⁡2(x2))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x/2)*cos(x/2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2)cos⁡2(x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x2)cos⁡2(x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x2)cos⁡2(x2)=−sin⁡(x2)cos⁡2(x2)\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
sin⁡(x2)cos⁡2(x2)=sin⁡(x2)cos⁡2(x2)\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор