Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (2x)/(exp^x-1)

Gráfico de la función y = (2x)/(exp^x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2*x  
f(x) = ------
        x    
       E  - 1
f(x)=2xex−1f{\left(x \right)} = \frac{2 x}{e^{x} - 1} 
f = (2*x)/(E^x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010040
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2xex−1=0\frac{2 x}{e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=43.876254509419x_{1} = 43.876254509419
x2=57.6533514231885x_{2} = 57.6533514231885
x3=79.496455118891x_{3} = 79.496455118891
x4=45.8319875395696x_{4} = 45.8319875395696
x5=81.4872456640903x_{5} = 81.4872456640903
x6=38.0568714825062x_{6} = 38.0568714825062
x7=101.418161552262x_{7} = 101.418161552262
x8=95.4353540260187x_{8} = 95.4353540260187
x9=109.398572537176x_{9} = 109.398572537176
x10=97.429350983852x_{10} = 97.429350983852
x11=32.3772303055367x_{11} = 32.3772303055367
x12=113.389949729147x_{12} = 113.389949729147
x13=69.5523925194344x_{13} = 69.5523925194344
x14=61.614029218278x_{14} = 61.614029218278
x15=75.5166588459953x_{15} = 75.5166588459953
x16=117.381987933686x_{16} = 117.381987933686
x17=93.4416565533312x_{17} = 93.4416565533312
x18=111.394173451874x_{18} = 111.394173451874
x19=83.4785626915261x_{19} = 83.4785626915261
x20=55.67586733869x_{20} = 55.67586733869
x21=103.412938828373x_{21} = 103.412938828373
x22=87.4626045093137x_{22} = 87.4626045093137
x23=51.7281686335152x_{23} = 51.7281686335152
x24=73.5277731870455x_{24} = 73.5277731870455
x25=53.7006804984822x_{25} = 53.7006804984822
x26=67.5660769899711x_{26} = 67.5660769899711
x27=105.407942520376x_{27} = 105.407942520376
x28=91.4482816547886x_{28} = 91.4482816547886
x29=49.7587989604181x_{29} = 49.7587989604181
x30=107.40315817241x_{30} = 107.40315817241
x31=39.9866376739683x_{31} = 39.9866376739683
x32=36.1413882660097x_{32} = 36.1413882660097
x33=65.580821222158x_{33} = 65.580821222158
x34=115.385891060967x_{34} = 115.385891060967
x35=59.6328238138969x_{35} = 59.6328238138969
x36=119.378231552779x_{36} = 119.378231552779
x37=89.4552548670559x_{37} = 89.4552548670559
x38=85.4703620749206x_{38} = 85.4703620749206
x39=121.374613775997x_{39} = 121.374613775997
x40=47.7931569932434x_{40} = 47.7931569932434
x41=99.4236264980399x_{41} = 99.4236264980399
x42=77.5062407712727x_{42} = 77.5062407712727
x43=71.5396566043977x_{43} = 71.5396566043977
x44=63.5967547129854x_{44} = 63.5967547129854
x45=34.2454006473895x_{45} = 34.2454006473895
x46=41.9272307470761x_{46} = 41.9272307470761
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x)/(E^x - 1).
0⋅2−1+e0\frac{0 \cdot 2}{-1 + e^{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xex(ex−1)2+2ex−1=0- \frac{2 x e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(x(1−2exex−1)+2)ex(ex−1)2=0- \frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32.2738175751516x_{1} = -32.2738175751516
x2=55.7006804984822x_{2} = 55.7006804984822
x3=−121.06914228288x_{3} = -121.06914228288
x4=−103.109329237227x_{4} = -103.109329237227
x5=75.5277731870455x_{5} = 75.5277731870455
x6=63.614029218278x_{6} = 63.614029218278
x7=−87.1619388762717x_{7} = -87.1619388762717
x8=−95.1329980618501x_{8} = -95.1329980618501
x9=−55.3950840173981x_{9} = -55.3950840173981
x10=−57.369883839131x_{10} = -57.369883839131
x11=107.407942520376x_{11} = 107.407942520376
x12=−115.080930865701x_{12} = -115.080930865701
x13=89.4626045093137x_{13} = 89.4626045093137
x14=−81.1882678183563x_{14} = -81.1882678183563
x15=−105.10407015753x_{15} = -105.10407015753
x16=53.7281686335153x_{16} = 53.7281686335153
x17=95.4416565533312x_{17} = 95.4416565533312
x18=−75.2198969347223x_{18} = -75.2198969347223
x19=49.7931569932465x_{19} = 49.7931569932465
x20=−67.2735421114241x_{20} = -67.2735421114241
x21=−113.085180982879x_{21} = -113.085180982879
x22=−51.45419010544x_{22} = -51.45419010544
x23=−93.1396752246407x_{23} = -93.1396752246407
x24=83.4872456640903x_{24} = 83.4872456640903
x25=43.9272307483245x_{25} = 43.9272307483245
x26=−107.099039845199x_{26} = -107.099039845199
x27=−69.2586229734047x_{27} = -69.2586229734047
x28=41.9866376831621x_{28} = 41.9866376831621
x29=119.381987933686x_{29} = 119.381987933686
x30=−43.6261544546536x_{30} = -43.6261544546536
x31=45.8762545095884x_{31} = 45.8762545095884
x32=−71.2447823410302x_{32} = -71.2447823410302
x33=79.5062407712727x_{33} = 79.5062407712727
x34=103.418161552262x_{34} = 103.418161552262
x35=−65.2896724119287x_{35} = -65.2896724119287
x36=−79.1981473783759x_{36} = -79.1981473783759
x37=−117.076847342498x_{37} = -117.076847342498
x38=115.389949729147x_{38} = 115.389949729147
x39=−34.0912704407968x_{39} = -34.0912704407968
x40=−111.089608132217x_{40} = -111.089608132217
x41=−45.5740005053856x_{41} = -45.5740005053856
x42=−61.3262172000187x_{42} = -61.3262172000187
x43=−119.072920781941x_{43} = -119.072920781941
x44=36.2454042865303x_{44} = 36.2454042865303
x45=−37.84637565678x_{45} = -37.84637565678
x46=57.67586733869x_{46} = 57.67586733869
x47=69.5660769899711x_{47} = 69.5660769899711
x48=85.4785626915261x_{48} = 85.4785626915261
x49=51.7587989604185x_{49} = 51.7587989604185
x50=117.385891060967x_{50} = 117.385891060967
x51=−63.3071694941258x_{51} = -63.3071694941258
x52=73.5396566043977x_{52} = 73.5396566043977
x53=−97.1266472537626x_{53} = -97.1266472537626
x54=109.40315817241x_{54} = 109.40315817241
x55=−89.1541152286569x_{55} = -89.1541152286569
x56=111.398572537176x_{56} = 111.398572537176
x57=101.42362649804x_{57} = 101.42362649804
x58=121.378231552779x_{58} = 121.378231552779
x59=59.6533514231885x_{59} = 59.6533514231885
x60=34.3772568547324x_{60} = 34.3772568547324
x61=81.496455118891x_{61} = 81.496455118891
x62=−109.094223645316x_{62} = -109.094223645316
x63=−49.4891864944474x_{63} = -49.4891864944474
x64=−59.3470343910748x_{64} = -59.3470343910748
x65=77.5166588459953x_{65} = 77.5166588459953
x66=71.5523925194344x_{66} = 71.5523925194344
x67=99.429350983852x_{67} = 99.429350983852
x68=40.056871550139x_{68} = 40.056871550139
x69=−73.2319064024203x_{69} = -73.2319064024203
x70=93.4482816547886x_{70} = 93.4482816547886
x71=−83.1789726997072x_{71} = -83.1789726997072
x72=113.394173451874x_{72} = 113.394173451874
x73=87.4703620749206x_{73} = 87.4703620749206
x74=−85.1702113647074x_{74} = -85.1702113647074
x75=−53.4230249783973x_{75} = -53.4230249783973
x76=61.6328238138969x_{76} = 61.6328238138969
x77=−39.7592415204806x_{77} = -39.7592415204806
x78=−77.2086687051389x_{78} = -77.2086687051389
x79=67.580821222158x_{79} = 67.580821222158
x80=−47.5287883412139x_{80} = -47.5287883412139
x81=105.412938828373x_{81} = 105.412938828373
x82=−99.1205993527235x_{82} = -99.1205993527235
x83=97.4353540260187x_{83} = 97.4353540260187
x84=−91.146704685936x_{84} = -91.146704685936
x85=65.5967547129854x_{85} = 65.5967547129854
x86=−41.6870582908352x_{86} = -41.6870582908352
x87=47.8319875395926x_{87} = 47.8319875395926
x88=32.5513247142705x_{88} = 32.5513247142705
x89=−35.9540446499353x_{89} = -35.9540446499353
x90=38.1413887627425x_{90} = 38.1413887627425
x91=91.4552548670559x_{91} = 91.4552548670559
x92=−101.114833112977x_{92} = -101.114833112977
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−2(x(1−2exex−1)+2)ex(ex−1)2)=13\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{3}
lim⁡x→0+(−2(x(1−2exex−1)+2)ex(ex−1)2)=13\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2xex−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{e^{x} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2xex−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x)/(E^x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2ex−1)=−2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{e^{x} - 1}\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−2xy = - 2 x
lim⁡x→∞(2ex−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2xex−1=−2x−1+e−x\frac{2 x}{e^{x} - 1} = - \frac{2 x}{-1 + e^{- x}}
- No
2xex−1=2x−1+e−x\frac{2 x}{e^{x} - 1} = \frac{2 x}{-1 + e^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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