Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- (2x)/(exp^x- uno)
- (2x) dividir por ( exponente de en el grado x menos 1)
- (2x) dividir por ( exponente de en el grado x menos uno)
- (2x)/(expx-1)
- 2x/expx-1
- 2x/exp^x-1
- (2x) dividir por (exp^x-1)
-
Expresiones semejantes
- (2x)/(exp^x+1)
-
Expresiones con funciones
- Exponente exp
- exp(x^3)*sqrt(x^2)-x-1
- exp(-x)/(2*x+3)^4
- exp(x)+exp(x*(-3+sqrt(21))/2)+exp(x*(-3-sqrt(21))/2)
- exp(10*x)/9
- exp(cosx-sinx)
Gráfico de la función y = (2x)/(exp^x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x
f(x) = ------
x
E - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x}{e^{x} - 1}$$
f = (2*x)/(E^x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 43.876254509419$$
$$x_{2} = 57.6533514231885$$
$$x_{3} = 79.496455118891$$
$$x_{4} = 45.8319875395696$$
$$x_{5} = 81.4872456640903$$
$$x_{6} = 38.0568714825062$$
$$x_{7} = 101.418161552262$$
$$x_{8} = 95.4353540260187$$
$$x_{9} = 109.398572537176$$
$$x_{10} = 97.429350983852$$
$$x_{11} = 32.3772303055367$$
$$x_{12} = 113.389949729147$$
$$x_{13} = 69.5523925194344$$
$$x_{14} = 61.614029218278$$
$$x_{15} = 75.5166588459953$$
$$x_{16} = 117.381987933686$$
$$x_{17} = 93.4416565533312$$
$$x_{18} = 111.394173451874$$
$$x_{19} = 83.4785626915261$$
$$x_{20} = 55.67586733869$$
$$x_{21} = 103.412938828373$$
$$x_{22} = 87.4626045093137$$
$$x_{23} = 51.7281686335152$$
$$x_{24} = 73.5277731870455$$
$$x_{25} = 53.7006804984822$$
$$x_{26} = 67.5660769899711$$
$$x_{27} = 105.407942520376$$
$$x_{28} = 91.4482816547886$$
$$x_{29} = 49.7587989604181$$
$$x_{30} = 107.40315817241$$
$$x_{31} = 39.9866376739683$$
$$x_{32} = 36.1413882660097$$
$$x_{33} = 65.580821222158$$
$$x_{34} = 115.385891060967$$
$$x_{35} = 59.6328238138969$$
$$x_{36} = 119.378231552779$$
$$x_{37} = 89.4552548670559$$
$$x_{38} = 85.4703620749206$$
$$x_{39} = 121.374613775997$$
$$x_{40} = 47.7931569932434$$
$$x_{41} = 99.4236264980399$$
$$x_{42} = 77.5062407712727$$
$$x_{43} = 71.5396566043977$$
$$x_{44} = 63.5967547129854$$
$$x_{45} = 34.2454006473895$$
$$x_{46} = 41.9272307470761$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 43.876254509419$$
$$x_{2} = 57.6533514231885$$
$$x_{3} = 79.496455118891$$
$$x_{4} = 45.8319875395696$$
$$x_{5} = 81.4872456640903$$
$$x_{6} = 38.0568714825062$$
$$x_{7} = 101.418161552262$$
$$x_{8} = 95.4353540260187$$
$$x_{9} = 109.398572537176$$
$$x_{10} = 97.429350983852$$
$$x_{11} = 32.3772303055367$$
$$x_{12} = 113.389949729147$$
$$x_{13} = 69.5523925194344$$
$$x_{14} = 61.614029218278$$
$$x_{15} = 75.5166588459953$$
$$x_{16} = 117.381987933686$$
$$x_{17} = 93.4416565533312$$
$$x_{18} = 111.394173451874$$
$$x_{19} = 83.4785626915261$$
$$x_{20} = 55.67586733869$$
$$x_{21} = 103.412938828373$$
$$x_{22} = 87.4626045093137$$
$$x_{23} = 51.7281686335152$$
$$x_{24} = 73.5277731870455$$
$$x_{25} = 53.7006804984822$$
$$x_{26} = 67.5660769899711$$
$$x_{27} = 105.407942520376$$
$$x_{28} = 91.4482816547886$$
$$x_{29} = 49.7587989604181$$
$$x_{30} = 107.40315817241$$
$$x_{31} = 39.9866376739683$$
$$x_{32} = 36.1413882660097$$
$$x_{33} = 65.580821222158$$
$$x_{34} = 115.385891060967$$
$$x_{35} = 59.6328238138969$$
$$x_{36} = 119.378231552779$$
$$x_{37} = 89.4552548670559$$
$$x_{38} = 85.4703620749206$$
$$x_{39} = 121.374613775997$$
$$x_{40} = 47.7931569932434$$
$$x_{41} = 99.4236264980399$$
$$x_{42} = 77.5062407712727$$
$$x_{43} = 71.5396566043977$$
$$x_{44} = 63.5967547129854$$
$$x_{45} = 34.2454006473895$$
$$x_{46} = 41.9272307470761$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -32.2738175751516$$
$$x_{2} = 55.7006804984822$$
$$x_{3} = -121.06914228288$$
$$x_{4} = -103.109329237227$$
$$x_{5} = 75.5277731870455$$
$$x_{6} = 63.614029218278$$
$$x_{7} = -87.1619388762717$$
$$x_{8} = -95.1329980618501$$
$$x_{9} = -55.3950840173981$$
$$x_{10} = -57.369883839131$$
$$x_{11} = 107.407942520376$$
$$x_{12} = -115.080930865701$$
$$x_{13} = 89.4626045093137$$
$$x_{14} = -81.1882678183563$$
$$x_{15} = -105.10407015753$$
$$x_{16} = 53.7281686335153$$
$$x_{17} = 95.4416565533312$$
$$x_{18} = -75.2198969347223$$
$$x_{19} = 49.7931569932465$$
$$x_{20} = -67.2735421114241$$
$$x_{21} = -113.085180982879$$
$$x_{22} = -51.45419010544$$
$$x_{23} = -93.1396752246407$$
$$x_{24} = 83.4872456640903$$
$$x_{25} = 43.9272307483245$$
$$x_{26} = -107.099039845199$$
$$x_{27} = -69.2586229734047$$
$$x_{28} = 41.9866376831621$$
$$x_{29} = 119.381987933686$$
$$x_{30} = -43.6261544546536$$
$$x_{31} = 45.8762545095884$$
$$x_{32} = -71.2447823410302$$
$$x_{33} = 79.5062407712727$$
$$x_{34} = 103.418161552262$$
$$x_{35} = -65.2896724119287$$
$$x_{36} = -79.1981473783759$$
$$x_{37} = -117.076847342498$$
$$x_{38} = 115.389949729147$$
$$x_{39} = -34.0912704407968$$
$$x_{40} = -111.089608132217$$
$$x_{41} = -45.5740005053856$$
$$x_{42} = -61.3262172000187$$
$$x_{43} = -119.072920781941$$
$$x_{44} = 36.2454042865303$$
$$x_{45} = -37.84637565678$$
$$x_{46} = 57.67586733869$$
$$x_{47} = 69.5660769899711$$
$$x_{48} = 85.4785626915261$$
$$x_{49} = 51.7587989604185$$
$$x_{50} = 117.385891060967$$
$$x_{51} = -63.3071694941258$$
$$x_{52} = 73.5396566043977$$
$$x_{53} = -97.1266472537626$$
$$x_{54} = 109.40315817241$$
$$x_{55} = -89.1541152286569$$
$$x_{56} = 111.398572537176$$
$$x_{57} = 101.42362649804$$
$$x_{58} = 121.378231552779$$
$$x_{59} = 59.6533514231885$$
$$x_{60} = 34.3772568547324$$
$$x_{61} = 81.496455118891$$
$$x_{62} = -109.094223645316$$
$$x_{63} = -49.4891864944474$$
$$x_{64} = -59.3470343910748$$
$$x_{65} = 77.5166588459953$$
$$x_{66} = 71.5523925194344$$
$$x_{67} = 99.429350983852$$
$$x_{68} = 40.056871550139$$
$$x_{69} = -73.2319064024203$$
$$x_{70} = 93.4482816547886$$
$$x_{71} = -83.1789726997072$$
$$x_{72} = 113.394173451874$$
$$x_{73} = 87.4703620749206$$
$$x_{74} = -85.1702113647074$$
$$x_{75} = -53.4230249783973$$
$$x_{76} = 61.6328238138969$$
$$x_{77} = -39.7592415204806$$
$$x_{78} = -77.2086687051389$$
$$x_{79} = 67.580821222158$$
$$x_{80} = -47.5287883412139$$
$$x_{81} = 105.412938828373$$
$$x_{82} = -99.1205993527235$$
$$x_{83} = 97.4353540260187$$
$$x_{84} = -91.146704685936$$
$$x_{85} = 65.5967547129854$$
$$x_{86} = -41.6870582908352$$
$$x_{87} = 47.8319875395926$$
$$x_{88} = 32.5513247142705$$
$$x_{89} = -35.9540446499353$$
$$x_{90} = 38.1413887627425$$
$$x_{91} = 91.4552548670559$$
$$x_{92} = -101.114833112977$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -32.2738175751516$$
$$x_{2} = 55.7006804984822$$
$$x_{3} = -121.06914228288$$
$$x_{4} = -103.109329237227$$
$$x_{5} = 75.5277731870455$$
$$x_{6} = 63.614029218278$$
$$x_{7} = -87.1619388762717$$
$$x_{8} = -95.1329980618501$$
$$x_{9} = -55.3950840173981$$
$$x_{10} = -57.369883839131$$
$$x_{11} = 107.407942520376$$
$$x_{12} = -115.080930865701$$
$$x_{13} = 89.4626045093137$$
$$x_{14} = -81.1882678183563$$
$$x_{15} = -105.10407015753$$
$$x_{16} = 53.7281686335153$$
$$x_{17} = 95.4416565533312$$
$$x_{18} = -75.2198969347223$$
$$x_{19} = 49.7931569932465$$
$$x_{20} = -67.2735421114241$$
$$x_{21} = -113.085180982879$$
$$x_{22} = -51.45419010544$$
$$x_{23} = -93.1396752246407$$
$$x_{24} = 83.4872456640903$$
$$x_{25} = 43.9272307483245$$
$$x_{26} = -107.099039845199$$
$$x_{27} = -69.2586229734047$$
$$x_{28} = 41.9866376831621$$
$$x_{29} = 119.381987933686$$
$$x_{30} = -43.6261544546536$$
$$x_{31} = 45.8762545095884$$
$$x_{32} = -71.2447823410302$$
$$x_{33} = 79.5062407712727$$
$$x_{34} = 103.418161552262$$
$$x_{35} = -65.2896724119287$$
$$x_{36} = -79.1981473783759$$
$$x_{37} = -117.076847342498$$
$$x_{38} = 115.389949729147$$
$$x_{39} = -34.0912704407968$$
$$x_{40} = -111.089608132217$$
$$x_{41} = -45.5740005053856$$
$$x_{42} = -61.3262172000187$$
$$x_{43} = -119.072920781941$$
$$x_{44} = 36.2454042865303$$
$$x_{45} = -37.84637565678$$
$$x_{46} = 57.67586733869$$
$$x_{47} = 69.5660769899711$$
$$x_{48} = 85.4785626915261$$
$$x_{49} = 51.7587989604185$$
$$x_{50} = 117.385891060967$$
$$x_{51} = -63.3071694941258$$
$$x_{52} = 73.5396566043977$$
$$x_{53} = -97.1266472537626$$
$$x_{54} = 109.40315817241$$
$$x_{55} = -89.1541152286569$$
$$x_{56} = 111.398572537176$$
$$x_{57} = 101.42362649804$$
$$x_{58} = 121.378231552779$$
$$x_{59} = 59.6533514231885$$
$$x_{60} = 34.3772568547324$$
$$x_{61} = 81.496455118891$$
$$x_{62} = -109.094223645316$$
$$x_{63} = -49.4891864944474$$
$$x_{64} = -59.3470343910748$$
$$x_{65} = 77.5166588459953$$
$$x_{66} = 71.5523925194344$$
$$x_{67} = 99.429350983852$$
$$x_{68} = 40.056871550139$$
$$x_{69} = -73.2319064024203$$
$$x_{70} = 93.4482816547886$$
$$x_{71} = -83.1789726997072$$
$$x_{72} = 113.394173451874$$
$$x_{73} = 87.4703620749206$$
$$x_{74} = -85.1702113647074$$
$$x_{75} = -53.4230249783973$$
$$x_{76} = 61.6328238138969$$
$$x_{77} = -39.7592415204806$$
$$x_{78} = -77.2086687051389$$
$$x_{79} = 67.580821222158$$
$$x_{80} = -47.5287883412139$$
$$x_{81} = 105.412938828373$$
$$x_{82} = -99.1205993527235$$
$$x_{83} = 97.4353540260187$$
$$x_{84} = -91.146704685936$$
$$x_{85} = 65.5967547129854$$
$$x_{86} = -41.6870582908352$$
$$x_{87} = 47.8319875395926$$
$$x_{88} = 32.5513247142705$$
$$x_{89} = -35.9540446499353$$
$$x_{90} = 38.1413887627425$$
$$x_{91} = 91.4552548670559$$
$$x_{92} = -101.114833112977$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{e^{x} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{e^{x} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x)/(E^x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{e^{x} - 1}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{e^{x} - 1}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x}{e^{x} - 1} = - \frac{2 x}{-1 + e^{- x}}$$
- No
$$\frac{2 x}{e^{x} - 1} = \frac{2 x}{-1 + e^{- x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x}{e^{x} - 1} = - \frac{2 x}{-1 + e^{- x}}$$
- No
$$\frac{2 x}{e^{x} - 1} = \frac{2 x}{-1 + e^{- x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar