Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 1/sin(y)

Gráfico de la función y = 1/sin(y)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1   
f(y) = ------
       sin(y)
f(y)=1sin⁡(y)f{\left(y \right)} = \frac{1}{\sin{\left(y \right)}} 
f = 1/sin(y)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
y1=0y_{1} = 0
y2=3.14159265358979y_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1sin⁡(y)=0\frac{1}{\sin{\left(y \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje Y
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en 1/sin(y).
1sin⁡(0)\frac{1}{\sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
−cos⁡(y)sin⁡2(y)=0- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin^{2}{\left(y \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=π2y_{1} = \frac{\pi}{2}
y2=3π2y_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi     
(----, -1)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
y1=π2y_{1} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
y1=3π2y_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Decrece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
1+2cos⁡2(y)sin⁡2(y)sin⁡(y)=0\frac{1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(y \right)}}{\sin^{2}{\left(y \right)}}}{\sin{\left(y \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
y1=0y_{1} = 0
y2=3.14159265358979y_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞1sin⁡(y)=⟨−∞,∞⟩\lim_{y \to -\infty} \frac{1}{\sin{\left(y \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡y→∞1sin⁡(y)=⟨−∞,∞⟩\lim_{y \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(y \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/sin(y), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=ylim⁡y→−∞(1ysin⁡(y))y = y \lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y \sin{\left(y \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ylim⁡y→∞(1ysin⁡(y))y = y \lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y \sin{\left(y \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
1sin⁡(y)=−1sin⁡(y)\frac{1}{\sin{\left(y \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(y \right)}}
- No
1sin⁡(y)=1sin⁡(y)\frac{1}{\sin{\left(y \right)}} = \frac{1}{\sin{\left(y \right)}}
- Sí
es decir, función
es
impar
    © Sr Examen – Калькулятор