Sr Examen

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Gráfico de la función y = x*ctg*1/3x-2/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       x*cot(1)       2  
f(x) = --------*x - -----
          3         x - 1
$$f{\left(x \right)} = x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}$$
f = x*((x*cot(1))/3) - 2/(x - 1)
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{3}{\cot{\left(1 \right)}} + \sqrt{- \frac{1}{729} + \frac{\left(- \frac{6}{\cot{\left(1 \right)}} - \frac{2}{27}\right)^{2}}{4}}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{3}{\cot{\left(1 \right)}} + \sqrt{- \frac{1}{729} + \frac{\left(- \frac{6}{\cot{\left(1 \right)}} - \frac{2}{27}\right)^{2}}{4}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.49777557793367$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x*cot(1))/3)*x - 2/(x - 1).
$$0 \frac{0 \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{-1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   2        
                                                                                                                                                                                                                                    /                                                                   __________________________________________\         
                                                                                                                                                                                                                                    |                                                                  /          ____________________            |         
                                                                                                                                                                                                                                    |                                                                 /          /                  2             |         
                                                                                                                                                                                                                                    |                                                                /          /       /      81  \              |         
                                                                                                                                                                                                                                    |                                                               /          /   -4 + |2 + ------|              |         
                                                                                                                                                                                                                                    |                                                              /         \/         \    cot(1)/        81    |         
                                                                                                                                                                                                                                    |                                                           3 /      1 + ------------------------- + -------- |         
                                                                                                                                                                                                                                    |2                            1                             \/                       2               2*cot(1) |         
                                                                                                                                                                                                                                    |- - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------| *cot(1) 
                                                                    __________________________________________                                                                                                                      |3             __________________________________________                           3                         |         
                                                                   /          ____________________                                                                                                                                  |             /          ____________________                                                                 |         
                                                                  /          /                  2                                                                                                                                   |            /          /                  2                                                                  |         
                                                                 /          /       /      81  \                                                                                                                                    |           /          /       /      81  \                                                                   |         
                                                                /          /   -4 + |2 + ------|                                                                                                                                    |          /          /   -4 + |2 + ------|                                                                   |         
                                                               /         \/         \    cot(1)/        81                                                                                                                          |         /         \/         \    cot(1)/        81                                                         |         
                                                            3 /      1 + ------------------------- + --------                                                                                                                       |    3*3 /      1 + ------------------------- + --------                                                      |         
 2                            1                             \/                       2               2*cot(1)                                                            2                                                          \      \/                       2               2*cot(1)                                                      /         
(- - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------, - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
 3             __________________________________________                           3                                                                                                  __________________________________________                                                              3                                                            
              /          ____________________                                                                                                                                         /          ____________________                                                                                                                                       
             /          /                  2                                                                                                                                         /          /                  2                                                                                                                                        
            /          /       /      81  \                                                                                                                                         /          /       /      81  \                                                                                                                                         
           /          /   -4 + |2 + ------|                                                                                                                                        /          /   -4 + |2 + ------|                                                                                                                                         
          /         \/         \    cot(1)/        81                                                                                                                             /         \/         \    cot(1)/        81                                                                                                                               
     3*3 /      1 + ------------------------- + --------                                                                                                                       3 /      1 + ------------------------- + --------                                                                                                                            
       \/                       2               2*cot(1)                                                            1                            1                             \/                       2               2*cot(1)                                                                                                                            
                                                                                                                  - - - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------                                                                                                                           
                                                                                                                    3             __________________________________________                           3                                                                                                                                                    
                                                                                                                                 /          ____________________                                                                                                                                                                                            
                                                                                                                                /          /                  2                                                                                                                                                                                             
                                                                                                                               /          /       /      81  \                                                                                                                                                                                              
                                                                                                                              /          /   -4 + |2 + ------|                                                                                                                                                                                              
                                                                                                                             /         \/         \    cot(1)/        81                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                        3*3 /      1 + ------------------------- + --------                                                                                                                                                                                 
                                                                                                                          \/                       2               2*cot(1)                                                                                                                                                                                 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{\cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \sqrt[3]{-1 - \frac{-6 - \cot{\left(1 \right)}}{\cot{\left(1 \right)}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{\cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{\cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + \sqrt[3]{-1 - \frac{-6 - \cot{\left(1 \right)}}{\cot{\left(1 \right)}}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + \sqrt[3]{-1 - \frac{-6 - \cot{\left(1 \right)}}{\cot{\left(1 \right)}}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x*cot(1))/3)*x - 2/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1} = \frac{x^{2} \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{- x - 1}$$
- No
$$x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1} = - \frac{x^{2} \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar