Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- x*ctg* uno /3x- dos /(x- uno)
- x multiplicar por ctg multiplicar por 1 dividir por 3x menos 2 dividir por (x menos 1)
- x multiplicar por ctg multiplicar por uno dividir por 3x menos dos dividir por (x menos uno)
- xctg1/3x-2/(x-1)
- xctg1/3x-2/x-1
- x*ctg*1 dividir por 3x-2 dividir por (x-1)
-
Expresiones semejantes
- x*ctg*1/3x+2/(x-1)
- x*ctg*1/3x-2/(x+1)
-
Expresiones con funciones
- ctg
- ctg(0.02x)
- ctg(pix)
- ctg(sqrt(x))
- ctg(arctgx)
- ctg3x/5
Gráfico de la función y = x*ctg*1/3x-2/(x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
x*cot(1) 2
f(x) = --------*x - -----
3 x - 1
$$f{\left(x \right)} = x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}$$
f = x*((x*cot(1))/3) - 2/(x - 1)
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{3}{\cot{\left(1 \right)}} + \sqrt{- \frac{1}{729} + \frac{\left(- \frac{6}{\cot{\left(1 \right)}} - \frac{2}{27}\right)^{2}}{4}}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{3}{\cot{\left(1 \right)}} + \sqrt{- \frac{1}{729} + \frac{\left(- \frac{6}{\cot{\left(1 \right)}} - \frac{2}{27}\right)^{2}}{4}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.49777557793367$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{3}{\cot{\left(1 \right)}} + \sqrt{- \frac{1}{729} + \frac{\left(- \frac{6}{\cot{\left(1 \right)}} - \frac{2}{27}\right)^{2}}{4}}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{1}{27} + \frac{3}{\cot{\left(1 \right)}} + \sqrt{- \frac{1}{729} + \frac{\left(- \frac{6}{\cot{\left(1 \right)}} - \frac{2}{27}\right)^{2}}{4}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.49777557793367$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ __________________________________________\
| / ____________________ |
| / / 2 |
| / / / 81 \ |
| / / -4 + |2 + ------| |
| / \/ \ cot(1)/ 81 |
| 3 / 1 + ------------------------- + -------- |
|2 1 \/ 2 2*cot(1) |
|- - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------| *cot(1)
__________________________________________ |3 __________________________________________ 3 |
/ ____________________ | / ____________________ |
/ / 2 | / / 2 |
/ / / 81 \ | / / / 81 \ |
/ / -4 + |2 + ------| | / / -4 + |2 + ------| |
/ \/ \ cot(1)/ 81 | / \/ \ cot(1)/ 81 |
3 / 1 + ------------------------- + -------- | 3*3 / 1 + ------------------------- + -------- |
2 1 \/ 2 2*cot(1) 2 \ \/ 2 2*cot(1) /
(- - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------, - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3 __________________________________________ 3 __________________________________________ 3
/ ____________________ / ____________________
/ / 2 / / 2
/ / / 81 \ / / / 81 \
/ / -4 + |2 + ------| / / -4 + |2 + ------|
/ \/ \ cot(1)/ 81 / \/ \ cot(1)/ 81
3*3 / 1 + ------------------------- + -------- 3 / 1 + ------------------------- + --------
\/ 2 2*cot(1) 1 1 \/ 2 2*cot(1)
- - - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------
3 __________________________________________ 3
/ ____________________
/ / 2
/ / / 81 \
/ / -4 + |2 + ------|
/ \/ \ cot(1)/ 81
3*3 / 1 + ------------------------- + --------
\/ 2 2*cot(1) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{\cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \sqrt[3]{-1 - \frac{-6 - \cot{\left(1 \right)}}{\cot{\left(1 \right)}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{\cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{\cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + \sqrt[3]{-1 - \frac{-6 - \cot{\left(1 \right)}}{\cot{\left(1 \right)}}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + \sqrt[3]{-1 - \frac{-6 - \cot{\left(1 \right)}}{\cot{\left(1 \right)}}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{\cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \sqrt[3]{-1 - \frac{-6 - \cot{\left(1 \right)}}{\cot{\left(1 \right)}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{\cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{\cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + \sqrt[3]{-1 - \frac{-6 - \cot{\left(1 \right)}}{\cot{\left(1 \right)}}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + \sqrt[3]{-1 - \frac{-6 - \cot{\left(1 \right)}}{\cot{\left(1 \right)}}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x*cot(1))/3)*x - 2/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1} = \frac{x^{2} \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{- x - 1}$$
- No
$$x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1} = - \frac{x^{2} \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1} = \frac{x^{2} \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{- x - 1}$$
- No
$$x \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} - \frac{2}{x - 1} = - \frac{x^{2} \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar