Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ __________________________________________\
| / ____________________ |
| / / 2 |
| / / / 81 \ |
| / / -4 + |2 + ------| |
| / \/ \ cot(1)/ 81 |
| 3 / 1 + ------------------------- + -------- |
|2 1 \/ 2 2*cot(1) |
|- - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------| *cot(1)
__________________________________________ |3 __________________________________________ 3 |
/ ____________________ | / ____________________ |
/ / 2 | / / 2 |
/ / / 81 \ | / / / 81 \ |
/ / -4 + |2 + ------| | / / -4 + |2 + ------| |
/ \/ \ cot(1)/ 81 | / \/ \ cot(1)/ 81 |
3 / 1 + ------------------------- + -------- | 3*3 / 1 + ------------------------- + -------- |
2 1 \/ 2 2*cot(1) 2 \ \/ 2 2*cot(1) /
(- - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------, - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3 __________________________________________ 3 __________________________________________ 3
/ ____________________ / ____________________
/ / 2 / / 2
/ / / 81 \ / / / 81 \
/ / -4 + |2 + ------| / / -4 + |2 + ------|
/ \/ \ cot(1)/ 81 / \/ \ cot(1)/ 81
3*3 / 1 + ------------------------- + -------- 3 / 1 + ------------------------- + --------
\/ 2 2*cot(1) 1 1 \/ 2 2*cot(1)
- - - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------
3 __________________________________________ 3
/ ____________________
/ / 2
/ / / 81 \
/ / -4 + |2 + ------|
/ \/ \ cot(1)/ 81
3*3 / 1 + ------------------------- + --------
\/ 2 2*cot(1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{81}{2 \cot{\left(1 \right)}} + \frac{\sqrt{-4 + \left(2 + \frac{81}{\cot{\left(1 \right)}}\right)^{2}}}{2}}} + \frac{2}{3}\right]$$