Sr Examen

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sin^2(5x)
Trazado el gráfico de la función/ sin^2(5x)

Gráfico de la función y = sin^2(5x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2     
f(x) = sin (5*x)
f(x)=sin⁡2(5x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(5 x \right)} 
f = sin(5*x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(5x)=0\sin^{2}{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π5x_{2} = \frac{\pi}{5}
Solución numérica
x1=−69.7433569144854x_{1} = -69.7433569144854
x2=84.1946831658814x_{2} = 84.1946831658814
x3=65.9734457491227x_{3} = 65.9734457491227
x4=−34.557519205621x_{4} = -34.557519205621
x5=48.3805269332059x_{5} = 48.3805269332059
x6=−93.6194610089695x_{6} = -93.6194610089695
x7=−98.0176907745377x_{7} = -98.0176907745377
x8=−25.7610597508393x_{8} = -25.7610597508393
x9=40.2123859980891x_{9} = 40.2123859980891
x10=−11.9380521948355x_{10} = -11.9380521948355
x11=16.3362817677468x_{11} = 16.3362817677468
x12=−49.6371639312598x_{12} = -49.6371639312598
x13=−81.6814090256911x_{13} = -81.6814090256911
x14=26.389378404373x_{14} = 26.389378404373
x15=−20.1061929669246x_{15} = -20.1061929669246
x16=−5.65486680327532x_{16} = -5.65486680327532
x17=−10.0530964569873x_{17} = -10.0530964569873
x18=−74.1415867308642x_{18} = -74.1415867308642
x19=76.0265421733494x_{19} = 76.0265421733494
x20=92.3628240109731x_{20} = 92.3628240109731
x21=−15.7079632929332x_{21} = -15.7079632929332
x22=33.929200694348x_{22} = 33.929200694348
x23=28.274333866221x_{23} = 28.274333866221
x24=−79.7964533604165x_{24} = -79.7964533604165
x25=−21.9911485868914x_{25} = -21.9911485868914
x26=67.8584012116523x_{26} = 67.8584012116523
x27=23.8761041369349x_{27} = 23.8761041369349
x28=−29.5309709494029x_{28} = -29.5309709494029
x29=−32.0442450660112x_{29} = -32.0442450660112
x30=54.0353935769786x_{30} = 54.0353935769786
x31=0x_{31} = 0
x32=−37.6991118714403x_{32} = -37.6991118714403
x33=1.88495559162432x_{33} = 1.88495559162432
x34=14.4513262974875x_{34} = 14.4513262974875
x35=−43.9822971763454x_{35} = -43.9822971763454
x36=−91.7345054955418x_{36} = -91.7345054955418
x37=18.2212374146874x_{37} = 18.2212374146874
x38=−18.2212374239276x_{38} = -18.2212374239276
x39=−96.1327352820571x_{39} = -96.1327352820571
x40=94.2477796093587x_{40} = 94.2477796093587
x41=−35.8141561923158x_{41} = -35.8141561923158
x42=−13.8230076087002x_{42} = -13.8230076087002
x43=−86.0796386742076x_{43} = -86.0796386742076
x44=−99.2743278089079x_{44} = -99.2743278089079
x45=−89.8495498469889x_{45} = -89.8495498469889
x46=52.1504380951596x_{46} = 52.1504380951596
x47=11.9380521192924x_{47} = 11.9380521192924
x48=6.28318528631514x_{48} = 6.28318528631514
x49=−27.6460153704533x_{49} = -27.6460153704533
x50=98.0176907659347x_{50} = 98.0176907659347
x51=−42.0973414539295x_{51} = -42.0973414539295
x52=45.8672526601148x_{52} = 45.8672526601148
x53=62.2035345818541x_{53} = 62.2035345818541
x54=−52.1504378480537x_{54} = -52.1504378480537
x55=−87.9645943653118x_{55} = -87.9645943653118
x56=87.9645943291086x_{56} = 87.9645943291086
x57=−71.6283124806418x_{57} = -71.6283124806418
x58=50.2654824467246x_{58} = 50.2654824467246
x59=77.9114978400645x_{59} = 77.9114978400645
x60=42.7256601331757x_{60} = 42.7256601331757
x61=−42.0973415325808x_{61} = -42.0973415325808
x62=−59.6902604490859x_{62} = -59.6902604490859
x63=43.9822971677305x_{63} = 43.9822971677305
x64=−3.76991116829917x_{64} = -3.76991116829917
x65=−76.0265421931435x_{65} = -76.0265421931435
x66=−32.0442450344607x_{66} = -32.0442450344607
x67=−47.752208332909x_{67} = -47.752208332909
x68=55.9203492680481x_{68} = 55.9203492680481
x69=−27.0176967671077x_{69} = -27.0176967671077
x70=8.16814097312701x_{70} = 8.16814097312701
x71=−54.0353936131557x_{71} = -54.0353936131557
x72=82.3097274931756x_{72} = 82.3097274931756
x73=−57.8053047763895x_{73} = -57.8053047763895
x74=21.9911485847669x_{74} = 21.9911485847669
x75=−65.9734457689354x_{75} = -65.9734457689354
x76=32.0442449765555x_{76} = 32.0442449765555
x77=70.3716754615702x_{77} = 70.3716754615702
x78=99.9026464096681x_{78} = 99.9026464096681
x79=−64.0884901021885x_{79} = -64.0884901021885
x80=30.1592895488569x_{80} = 30.1592895488569
x81=38.3274303412779x_{81} = 38.3274303412779
x82=10.0530963750204x_{82} = 10.0530963750204
x83=60.3185789165688x_{83} = 60.3185789165688
x84=72.2566310277817x_{84} = 72.2566310277817
x85=74.1415865572913x_{85} = 74.1415865572913
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(5*x)^2.
sin⁡2(0⋅5)\sin^{2}{\left(0 \cdot 5 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
10sin⁡(5x)cos⁡(5x)=010 \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π10x_{2} = - \frac{\pi}{10}
x3=π10x_{3} = \frac{\pi}{10}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi     
(----, 1)
  10     

 pi    
(--, 1)
 10


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−π10x_{1} = - \frac{\pi}{10}
x1=π10x_{1} = \frac{\pi}{10}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π10]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π10,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{10}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
50(−sin⁡2(5x)+cos⁡2(5x))=050 \left(- \sin^{2}{\left(5 x \right)} + \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π20x_{1} = - \frac{\pi}{20}
x2=π20x_{2} = \frac{\pi}{20}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π20,π20]\left[- \frac{\pi}{20}, \frac{\pi}{20}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π20]∪[π20,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{20}\right] \cup \left[\frac{\pi}{20}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡2(5x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{2}{\left(5 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡2(5x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{2}{\left(5 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(5*x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(5x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(5x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(5x)=sin⁡2(5x)\sin^{2}{\left(5 x \right)} = \sin^{2}{\left(5 x \right)}
- Sí
sin⁡2(5x)=−sin⁡2(5x)\sin^{2}{\left(5 x \right)} = - \sin^{2}{\left(5 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sin^2(5x)
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