Sr Examen

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Gráfico de la función y = 1/(x*ln(x)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           1    
f(x) = ---------
            2   
       x*log (x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}}$$
f = 1/(x*log(x)^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x*log(x)^2).
$$\frac{1}{0 \log{\left(0 \right)}^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} \left(- \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{-2}$$
Signos de extremos en los puntos:
       2 
  -2  e  
(e , --)
      4  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = e^{-2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[e^{-2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{-2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + 2}{x^{3} \log{\left(x \right)}^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x*log(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = - \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- No
$$\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar