Gráfico de la función y = log(exp(x)/(exp(x)+exp(x-5)))

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          /      x    \
          |     e     |
f(x) = log|-----------|
          | x    x - 5|
          \e  + e     /

f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x - 5}} \right)}

f = log(exp(x)/(exp(x) + exp(x - 5)))

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\log{\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x - 5}} \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(exp(x)/(exp(x) + exp(x - 5))).

\log{\left(\frac{e^{0}}{e^{-5} + e^{0}} \right)}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \log{\left(\frac{1}{e^{-5} + 1} \right)}

Punto:

(0, log(1/(1 + exp(-5))))

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

\left(\frac{\left(- e^{x} - e^{x - 5}\right) e^{x}}{\left(e^{x} + e^{x - 5}\right)^{2}} + \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x - 5}}\right) \left(e^{x} + e^{x - 5}\right) e^{- x} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

0 = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x - 5}} \right)} = 5 - \log{\left(1 + e^{5} \right)}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = 5 - \log{\left(1 + e^{5} \right)}

\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x - 5}} \right)} = 5 - \log{\left(1 + e^{5} \right)}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 5 - \log{\left(1 + e^{5} \right)}

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(exp(x)/(exp(x) + exp(x - 5))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x - 5}} \right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x - 5}} \right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\log{\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x - 5}} \right)} = \log{\left(\frac{e^{- x}}{e^{- x - 5} + e^{- x}} \right)}

- No

\log{\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x - 5}} \right)} = - \log{\left(\frac{e^{- x}}{e^{- x - 5} + e^{- x}} \right)}

- No
es decir, función
no es
par ni impar