Sr Examen

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exp(-sqrt(-1+cos(x))/sqrt(1+cos(x)))
Trazado el gráfico de la función/ exp(-sqrt(-1+cos(x))/sqrt(1+cos(x)))

Gráfico de la función y = exp(-sqrt(-1+cos(x))/sqrt(1+cos(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _____________ 
        -\/ -1 + cos(x)  
        -----------------
            ____________ 
          \/ 1 + cos(x)  
f(x) = e
$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$ 
f = exp((-sqrt(cos(x) - 1))/sqrt(cos(x) + 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3.14159265358979$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp((-sqrt(-1 + cos(x)))/sqrt(1 + cos(x))).
$$e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{-1 + \cos{\left(0 \right)}}}{\sqrt{1 + \cos{\left(0 \right)}}}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- \frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1} \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}\right) e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3.14159265358979$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp((-sqrt(-1 + cos(x)))/sqrt(1 + cos(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}} = e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$
- Sí
$$e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}} = - e^{\frac{\left(-1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(-sqrt(-1+cos(x))/sqrt(1+cos(x)))
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