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Trazado el gráfico de la función/ -2-4*tan(sqrt(x)/2)/(-1+tan(sqrt(x)/2)^2)

Gráfico de la función y = -2-4*tan(sqrt(x)/2)/(-1+tan(sqrt(x)/2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   /  ___\  
                   |\/ x |  
              4*tan|-----|  
                   \  2  /  
f(x) = -2 - ----------------
                     /  ___\
                    2|\/ x |
            -1 + tan |-----|
                     \  2  /
f(x)=−2−4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−1f{\left(x \right)} = -2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1} 
f = -2 - 4*tan(sqrt(x)/2)/(tan(sqrt(x)/2)^2 - 1)
Gráfico de la función
1.000.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2.46740110027234x_{1} = 2.46740110027234
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2−4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−1=0-2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π216x_{1} = \frac{\pi^{2}}{16}
Solución numérica
x1=49.9648722805149x_{1} = 49.9648722805149
x2=0.616850275068085x_{2} = 0.616850275068085
x3=15.4212568767021x_{3} = 15.4212568767021
x4=104.247696486506x_{4} = 104.247696486506
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2 - 4*tan(sqrt(x)/2)/(-1 + tan(sqrt(x)/2)^2).
−2−4tan⁡(02)−1+tan⁡2(02)-2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{0}}{2} \right)}}{-1 + \tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{0}}{2} \right)}}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−tan⁡2(x2)+1x(tan⁡2(x2)−1)+2(tan⁡2(x2)+1)tan⁡2(x2)x(tan⁡2(x2)−1)2=0- \frac{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} + 1}{\sqrt{x} \left(\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1\right)} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}}{\sqrt{x} \left(\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2.46740110027234x_{1} = 2.46740110027234
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2−4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−1)=−2+2i\lim_{x \to -\infty}\left(-2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1}\right) = -2 + 2 i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−2+2iy = -2 + 2 i
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(−2−4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−1)y = \lim_{x \to \infty}\left(-2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2 - 4*tan(sqrt(x)/2)/(-1 + tan(sqrt(x)/2)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2−4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(−2−4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−1x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2−4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−1=−2−4tan⁡(−x2)tan⁡2(−x2)−1-2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1} = -2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{- x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{- x}}{2} \right)} - 1}
- No
−2−4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−1=2+4tan⁡(−x2)tan⁡2(−x2)−1-2 - \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} - 1} = 2 + \frac{4 \tan{\left(\frac{\sqrt{- x}}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{- x}}{2} \right)} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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