Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (1/2)^tgx*ctgx

Gráfico de la función y = (1/2)^tgx*ctgx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -tan(x)       
f(x) = 2       *cot(x)
f(x)=(12)tan⁡(x)cot⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)} 
f = (1/2)^tan(x)*cot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2e212e21
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(12)tan⁡(x)cot⁡(x)=0\left(\frac{1}{2}\right)^{\tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=20.3920411398722x_{1} = 20.3920411398722
x2=−1.59932716490056x_{2} = -1.59932716490056
x3=−45.5820103997616x_{3} = -45.5820103997616
x4=−29.8739291932351x_{4} = -29.8739291932351
x5=14.1090512740631x_{5} = 14.1090512740631
x6=32.968497200569x_{6} = 32.968497200569
x7=−7.88245523671838x_{7} = -7.88245523671838
x8=80.0838257920694x_{8} = 80.0838257920694
x9=−23.590676893115x_{9} = -23.590676893115
x10=303.146486226473x_{10} = 303.146486226473
x11=64.3748451632228x_{11} = 64.3748451632228
x12=86.3662881672622x_{12} = 86.3662881672622
x13=42.3834308099153x_{13} = 42.3834308099153
x14=−51.8498627602501x_{14} = -51.8498627602501
x15=58.0921844492462x_{15} = 58.0921844492462
x16=36.1005956555676x_{16} = 36.1005956555676
x17=10.9682228616175x_{17} = 10.9682228616175
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1/2)^tan(x)*cot(x).
(12)tan⁡(0)cot⁡(0)\left(\frac{1}{2}\right)^{\tan{\left(0 \right)}} \cot{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2−tan⁡(x)(tan⁡2(x)+1)log⁡(2)cot⁡(x)+2−tan⁡(x)(−cot⁡2(x)−1)=0- 2^{- \tan{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(x \right)} + 2^{- \tan{\left(x \right)}} \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(1log⁡(2))x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
      /  1   \            
(-atan|------|, -E*log(2))
      \log(2)/


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−atan⁡(1log⁡(2))x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(1log⁡(2))]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[−atan⁡(1log⁡(2)),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2−tan⁡(x)(((tan⁡2(x)+1)log⁡(2)−2tan⁡(x))(tan⁡2(x)+1)log⁡(2)cot⁡(x)+2(tan⁡2(x)+1)(cot⁡2(x)+1)log⁡(2)+2(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x))=02^{- \tan{\left(x \right)}} \left(\left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} - 2 \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞((12)tan⁡(x)cot⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞((12)tan⁡(x)cot⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1/2)^tan(x)*cot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(2−tan⁡(x)cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{- \tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(2−tan⁡(x)cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- \tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(12)tan⁡(x)cot⁡(x)=−2tan⁡(x)cot⁡(x)\left(\frac{1}{2}\right)^{\tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)} = - 2^{\tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)}
- No
(12)tan⁡(x)cot⁡(x)=2tan⁡(x)cot⁡(x)\left(\frac{1}{2}\right)^{\tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)} = 2^{\tan{\left(x \right)}} \cot{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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