Sr Examen

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Gráfico de la función y = tgx+cosx/sin^2x-5x/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                 cos(x)   5*x
f(x) = tan(x) + ------- - ---
                   2       2 
                sin (x)      
f(x)=5x2+(tan(x)+cos(x)sin2(x))f{\left(x \right)} = - \frac{5 x}{2} + \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
f = -5*x/2 + tan(x) + cos(x)/sin(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000500000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5x2+(tan(x)+cos(x)sin2(x))=0- \frac{5 x}{2} + \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=59.7720423432865x_{1} = -59.7720423432865
x2=2.7763948133155x_{2} = -2.7763948133155
x3=15.866723739798x_{3} = -15.866723739798
x4=9.21816015140162x_{4} = -9.21816015140162
x5=3.48404114560062x_{5} = -3.48404114560062
x6=6.02921027364639x_{6} = 6.02921027364639
x7=1.2028374381276x_{7} = 1.2028374381276
x8=21.8562399838856x_{8} = -21.8562399838856
x9=1.29484910257484x_{9} = -1.29484910257484
x10=15.5482438469204x_{10} = -15.5482438469204
x11=0.908498782553099x_{11} = 0.908498782553099
x12=7.80262641915203x_{12} = 7.80262641915203
x13=6.53129142478279x_{13} = 6.53129142478279
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x) + cos(x)/sin(x)^2 - 5*x/2.
(tan(0)+cos(0)sin2(0))052\left(\tan{\left(0 \right)} + \frac{\cos{\left(0 \right)}}{\sin^{2}{\left(0 \right)}}\right) - \frac{0 \cdot 5}{2}
Resultado:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin(x)sin2(x)+tan2(x)322cos2(x)sin3(x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{3}{2} - \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(tan2(x)+1)tan(x)+5cos(x)sin2(x)+6cos3(x)sin4(x)=02 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{6 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=limx(5x2+(tan(x)+cos(x)sin2(x)))y = \lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{5 x}{2} + \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=limx(5x2+(tan(x)+cos(x)sin2(x)))y = \lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5 x}{2} + \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x) + cos(x)/sin(x)^2 - 5*x/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlimx(5x2+(tan(x)+cos(x)sin2(x))x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{2} + \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlimx(5x2+(tan(x)+cos(x)sin2(x))x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{2} + \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5x2+(tan(x)+cos(x)sin2(x))=5x2tan(x)+cos(x)sin2(x)- \frac{5 x}{2} + \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{5 x}{2} - \tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
- No
5x2+(tan(x)+cos(x)sin2(x))=5x2+tan(x)cos(x)sin2(x)- \frac{5 x}{2} + \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = - \frac{5 x}{2} + \tan{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar