Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(3)*sin(x)

Gráfico de la función y = sqrt(3)*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___       
f(x) = \/ 3 *sin(x)
f(x)=3sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} 
f = sqrt(3)*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)=0\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−267.035375555132x_{1} = -267.035375555132
x2=−75.398223686155x_{2} = -75.398223686155
x3=47.1238898038469x_{3} = 47.1238898038469
x4=−31.4159265358979x_{4} = -31.4159265358979
x5=9.42477796076938x_{5} = 9.42477796076938
x6=−34.5575191894877x_{6} = -34.5575191894877
x7=−97.3893722612836x_{7} = -97.3893722612836
x8=−62.8318530717959x_{8} = -62.8318530717959
x9=87.9645943005142x_{9} = 87.9645943005142
x10=−87.9645943005142x_{10} = -87.9645943005142
x11=−3.14159265358979x_{11} = -3.14159265358979
x12=6.28318530717959x_{12} = 6.28318530717959
x13=59.6902604182061x_{13} = 59.6902604182061
x14=−47.1238898038469x_{14} = -47.1238898038469
x15=−40.8407044966673x_{15} = -40.8407044966673
x16=100.530964914873x_{16} = 100.530964914873
x17=62.8318530717959x_{17} = 62.8318530717959
x18=3.14159265358979x_{18} = 3.14159265358979
x19=28.2743338823081x_{19} = 28.2743338823081
x20=−69.1150383789755x_{20} = -69.1150383789755
x21=97.3893722612836x_{21} = 97.3893722612836
x22=12.5663706143592x_{22} = 12.5663706143592
x23=94.2477796076938x_{23} = 94.2477796076938
x24=31.4159265358979x_{24} = 31.4159265358979
x25=25.1327412287183x_{25} = 25.1327412287183
x26=−37.6991118430775x_{26} = -37.6991118430775
x27=−94.2477796076938x_{27} = -94.2477796076938
x28=−59.6902604182061x_{28} = -59.6902604182061
x29=−56.5486677646163x_{29} = -56.5486677646163
x30=81.6814089933346x_{30} = 81.6814089933346
x31=43.9822971502571x_{31} = 43.9822971502571
x32=−91.106186954104x_{32} = -91.106186954104
x33=15.707963267949x_{33} = 15.707963267949
x34=34.5575191894877x_{34} = 34.5575191894877
x35=21.9911485751286x_{35} = 21.9911485751286
x36=40.8407044966673x_{36} = 40.8407044966673
x37=69.1150383789755x_{37} = 69.1150383789755
x38=65.9734457253857x_{38} = 65.9734457253857
x39=−72.2566310325652x_{39} = -72.2566310325652
x40=−21.9911485751286x_{40} = -21.9911485751286
x41=91.106186954104x_{41} = 91.106186954104
x42=53.4070751110265x_{42} = 53.4070751110265
x43=−28.2743338823081x_{43} = -28.2743338823081
x44=56.5486677646163x_{44} = 56.5486677646163
x45=−65.9734457253857x_{45} = -65.9734457253857
x46=−18.8495559215388x_{46} = -18.8495559215388
x47=−100.530964914873x_{47} = -100.530964914873
x48=−53.4070751110265x_{48} = -53.4070751110265
x49=−113.097335529233x_{49} = -113.097335529233
x50=−15.707963267949x_{50} = -15.707963267949
x51=84.8230016469244x_{51} = 84.8230016469244
x52=72.2566310325652x_{52} = 72.2566310325652
x53=18.8495559215388x_{53} = 18.8495559215388
x54=−232.477856365645x_{54} = -232.477856365645
x55=0x_{55} = 0
x56=−43.9822971502571x_{56} = -43.9822971502571
x57=−84.8230016469244x_{57} = -84.8230016469244
x58=−78.5398163397448x_{58} = -78.5398163397448
x59=−12.5663706143592x_{59} = -12.5663706143592
x60=75.398223686155x_{60} = 75.398223686155
x61=−6.28318530717959x_{61} = -6.28318530717959
x62=78.5398163397448x_{62} = 78.5398163397448
x63=−50.2654824574367x_{63} = -50.2654824574367
x64=−81.6814089933346x_{64} = -81.6814089933346
x65=50.2654824574367x_{65} = 50.2654824574367
x66=−9.42477796076938x_{66} = -9.42477796076938
x67=37.6991118430775x_{67} = 37.6991118430775
x68=−25.1327412287183x_{68} = -25.1327412287183
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(3)*sin(x).
3sin⁡(0)\sqrt{3} \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3cos⁡(x)=0\sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    ___ 
(--, \/ 3 )
 2         

 3*pi     ___ 
(----, -\/ 3 )
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3sin⁡(x)=0- \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x))=3⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(x \right)}\right) = \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=3⟨−1,1⟩y = \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x))=3⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(x \right)}\right) = \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=3⟨−1,1⟩y = \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3)*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)=−3sin⁡(x)\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} = - \sqrt{3} \sin{\left(x \right)}
- No
3sin⁡(x)=3sin⁡(x)\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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