Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ acot(3/(x+4))

Gráfico de la función y = acot(3/(x+4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  3  \
f(x) = acot|-----|
           \x + 4/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{3}{x + 4} \right)}$$ 
f = acot(3/(x + 4))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{x + 4} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(3/(x + 4)).
$$\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
Punto:
(0, acot(3/4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3}{\left(1 + \frac{9}{\left(x + 4\right)^{2}}\right) \left(x + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(-1 + \frac{9}{\left(1 + \frac{9}{\left(x + 4\right)^{2}}\right) \left(x + 4\right)^{2}}\right)}{\left(1 + \frac{9}{\left(x + 4\right)^{2}}\right) \left(x + 4\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{3}{x + 4} \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{3}{x + 4} \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(3/(x + 4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{x + 4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{x + 4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{x + 4} \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4 - x} \right)}$$
- No
$$\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{x + 4} \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4 - x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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